こんにちは. ぱいです. 京都大学の入試の過去問でこんな問題があります. 京大の過去問 (2006年後期) は有理数か？ この過去問の解答例はいろんなサイトで解説され尽くしているので割愛します. が有理数かどうかを考えたら, 今度は や についても次のような問…

こんにちは. ぱいです. このあいだ, ガンマ関数に関する下記の問題の解答例を書きました. 問題任意の正整数 と任意の複素数 に対して以下の等式が成り立つことを示せ. \begin{align} \Gamma (nz) = \dfrac{n^{nz}}{ (\sqrt{2\pi})^{n-1} \sqrt{n} } \prod_{k…

こんにちは. ぱいです. このあいだ近所の数学好きな人たちとおしゃべりする機会があって, ガンマ関数に関する下記の問題についていっしょに考えました. 問題任意の正整数 と任意の複素数 に対して以下の等式が成り立つことを示せ. \begin{align} \Gamma (nz)…

こんにちは. ぱいです. 今日は, アイゼンシュタインの判定法の判定法について書きます. つまり, 多項式の既約判定がテーマです. (「判定法の判定法」は誤植ではないです.) なお, この記事では, 多項式の係数が整数の場合だけ を扱います. 整数全体の集合を …

こんにちは. ぱいです. 一般に, 5 次以上の代数方程式は四則演算とベキ根を取る操作で代数的に解くことは不可能と知られています. しかし, 特別な関数を用いて解析的に解くことは可能とも知られています. 最近, オンライン上のゼミで, その解析的解法につい…

こんにちは. ぱいです. 最近, むぐむぐ勉強会でゼミを立ち上げて, 5次方程式の解析的解法について皆で学んでいます. そのゼミのテキストで面白い公式が出てきて, 面白かったので紹介します. （後述の定理 2 です.） ザックリ言うと, 行列式の余因子展開の「…

こんにちは. ぱいです. 先日二項係数の計算をしていたら面白い問題を思いつきました: 問題 と を正整数とし, とする (※). このとき, 二項係数 が平方数となるような組 は, 高々有限個しか存在しないか？それとも無限個存在するか？ (※) としている理由は, も…

こんにちは. ぱいです. このあいだむぐむぐ勉強会で部分環の定義について雑談をして, 楽しかったです. そこで, 今日の記事のテーマは, 部分環の定義です. ※なお, この記事では, 環は必ず単位元を持つものとします. ※可換性は特に気にしません. 早速ですが, …

こんにちは. ぱいです. このあいだ会社の図書室で本を立ち読みしていたら面白い問題があって面白かったので, 紹介します. (参考文献 [1] の p.49, 演習問題 2.8) 問題次の極限はいくらに収束するか？\begin{align} \lim_{n \to \infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n…

こんにちは. ぱいです. 今日はアクチュアリー記号の計算の話を書きます. 早速ですが, 次のような条件をみたす年金を考えます. 予定利率 (※) ： 年金給付期間： 年金給付条件：被保険者の生死によらず給付する (確定年金) 年金給付額 ： 年目の年度初めに年金…

こんにちは. ぱいです. 今日は, 数列のいろいろな性質を示すときに母関数が役に立つという話を書きます. 例えば, 二項係数 に関する次の定理を見てみましょう. ただし, は, 非負整数 , () に対して次の式で定義される数列です. \begin{align} {}_{n} \mathrm…

こんにちは. ぱいです. 野球の世界大会 World Baseball Classic (WBC) で日本のチームが優勝して, 世間は盛り上がっていますね. じつは, その裏で, 与えられた線形空間に対してその基底を求める競技 World Basis Classic も密かに開催されていました. うそで…

こんにちは. ぱいです. 最近, むぐむぐ勉強会で数理統計学ゼミに参加して楽しい日々を送っています. そこで, 今日は次の問題を解説します. 問題 とする. (1) 次のモーメントが存在すれば, 次のモーメントも存在するか？(2) 次のモーメントが存在すれば, 次の…

こんにちは. ぱいです. 三角比の半角の公式の証明を書きたくなったので, 書きます. 半角の公式 とする (※). このとき, 次の (1), (2) が成り立つ. (1) (2) (※) どんな実数 でも同じような式が成り立ちますが, とりあえず から までの範囲で考えることにしま…

こんにちは. ぱいです. 今日は, 群論について下記の問題を解説します. (2023/2/12 追記. 不備があったため, 条件 (4) の表現を差し替えました.) 問題 を群として, 下記の条件 (1) ～ (4) を考えます. (1) は有限群となる. (2) のどんな真部分群も有限群とな…

こんにちは. ぱいです. 今朝, 線分と長方形の区別についてこんなツイートをしました. ただの独り言ですが、集合論が線分と長方形を区別できないのは、意図的に区別してないだけであって、全く欠陥ではありません。線分と長方形の「形の違い」を区別したいの…

こんにちは. ぱいです. 文章を隠したり表示させたりする技を習得しました. (2023/02/05 11:40 追記. スマホ版だと上手く機能してくれなかったので, 全然習得できていませんでした！！！ この記事は, パソコンで読むことを想定しています. スマホで読むと意味…

こんにちは. ぱいです. 大学入試の季節ですね. 今日は, 下記の入試問題を解説します. 問題 でない複素数からなる集合 は次を満たしているとする。 \begin{align} G\, の任意の要素 \, z、w \, の積 \, zw \, は再び \, G \, の要素である\end{align} を正の…

こんにちは. ぱいです. 明けましておめでとうございます. 今年も数学の記事を書いていきますので, よろしくお願いいたします. さて, 2023 年になったということで, 今年 1 発目の記事のテーマは「位数 2023 の群の分類」です！ つまり, 位数 2023 の群をすべ…

こんにちは. ぱいです. 下記 3 点の条件を同時にみたす病的な実関数 を思いついたので, 解説します. 条件 すべての点 において, は連続となる. すべての点 において, は下半連続とならない. すべての点 において, は上半連続となる.

こんにちは. ぱいです. さて, 前回の記事で, 下記問題 (東大の 2022 年度入試) に登場する数列 の一般項について解説しました. 第 2 問 数列 を次のように定める。 \begin{align} a_{1} = 1, \quad a_{n+1} = a_{n}^{2} + 1 \quad ( n = 1, \ 2, \ 3, \ \cdo…

こんにちは. ぱいです. さて, 東大の 2022 年度入試で下記の問題が出題されました. 第 2 問 数列 を次のように定める。 \begin{align} a_{1} = 1, \quad a_{n+1} = a_{n}^{2} + 1 \quad ( n = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots \cdots ) \end{align} (1) 正の整数 が 3…

こんにちは. ぱいです. 今日は下記の問題の解答例を書きます. 問題左逆元を無数に持つけど右逆元をひとつも持たないような反例は存在するか？ 「続きを読む」の下の方に解答例を載せるので, 自分で考えたい人は気を付けてください.

こんにちは. ぱいです. 今日は, 下記 2 つの関数の関係性を解説します. Riemann のゼータ関数 Dirichlet の L 級数 ■ 目次 Riemann のゼータ関数 ζ(s) の定義と Euler 積 Dirichlet の L 級数 L(s,χ) の定義と Euler 積 ζ(s) と L(s,χ) の関係

こんにちは. ぱいです. 先日, むぐむぐ勉強会*1にて全 3 回にわたりセミナー「素数が無限個存在することのいろいろな証明を味わおう！」を開きました. 詳細は以下のツイートをご参照ください. セミナー「素数が無限個存在することのいろいろな証明を味わおう…

こんにちは. ぱいです. モジュラー群 の生成系の話シリーズ第 4 弾です. ↓↓↓ 第 1 弾 ～ 第 3 弾の記事はコチラ ↓↓↓ モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話 その 1 - シン・ぱいおつ日記 モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話 その 2 - シン・ぱいおつ日記 モジュ…

こんにちは. ぱいです. モジュラー群 の生成系の話シリーズ第 3 弾です. 前回・前々回で, Euclid の互除法や連分数との関連性を追いながらモジュラー群 の生成系を見ました. ↓ 前回の記事はこちら end-of-paiotu.hatenablog.com 今回は, と複素平面との関連…

こんにちは. ぱいです. 前回の記事に引き続き, モジュラー群 の生成系に関する話を書きます. ↓ 前回の記事はこちら end-of-paiotu.hatenablog.com の生成系を幾何的に求める話を書くと予告しましたが, 小ネタを思いついたのでちょっと予定を変更します. 最近…

こんにちは. ぱいです. 先週, オンラインの整数論ゼミで群の基礎的な概念についての発表をしました. その発表の中で, モジュラー群 の生成系の話をしました. は以下の 2 種類の行列で生成されます. \begin{align} \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) = \left\langle …

こんにちは. ぱいです. BUMP OF CHICKEN の最新曲「クロノスタシス」, いい曲ですよね. 最近, 仕事中も数学をしている時もずっとこの曲ばかり聴いて過ごしています. www.youtube.com 何度も聴いているうちに, じつはこの曲は, 有限体上の多項式環 が有理整数…