数列空間の線形独立な非可算集合の話

こんにちは.

ぱいです.

野球の世界大会 World Baseball Classic (WBC) で日本のチームが優勝して, 世間は盛り上がっていますね.

じつは, その裏で, 与えられた線形空間に対してその基底を求める競技 World Basis Classic も密かに開催されていました.

うそです. 開催されていません.

(野球のほうの WBC はマジで開催されていて, 盛り上がっていたようです.)

そんな冗談を交えながら, Twitter で, 数列全体の空間 $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ がどんな基底を持つか知りたい 的な投稿をしました.

すると, 有識者の方々からたくさんの有益コメントをいただけました.

コメントたちを要約すると、次のような感じです.

おそらく, $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ の基底を具体的に構成するのは無理っぽい. (選択公理が絡む.)
でも, 線形独立な非可算集合だったら具体的に構成できる！

さて, この記事の目的は, 上記要約の 2 点目・線形独立な非可算集合について, 具体例を 2 個メモすることです.

なお, 有識者の方々からいただいたコメントの詳細は, 下記ツイートのリプライ欄を参照してください.

与えられた線形空間に対してその基底を見つける競技、World・Basis・Classic
— ぱい (@END_OF_PAIOTU) 2023年3月21日

注意 : この記事において, $\mathbb{N}$ は正整数全体の集合を表します. $0$ を含みません.

(目次)

線形独立な非可算集合の例その 1
線形独立な非可算集合の例その 2

線形独立な非可算集合の例その 1

この節で紹介する例では, 集合論のいわゆる AD family とか MAD family とか呼ばれている集合族を使います.

しばらく, 定義のオンパレードになります.

素数を小さい順に番号づけて, $p_{0} = 2$ , $p_{1} = 3$ , $p_{2} = 5$ , … とします.

(番号を $0$ からカウントしている点に注意！)

任意の写像 $f : \mathbb{N} \to \{ 1, \, 2 \}$ と任意の正整数 $n \in \mathbb{N}$ に対して, 正整数 $a(f;n) \in \mathbb{N}$ を次の式で定めます.

\begin{align} a(f;n) := 2^{n} \cdot 3^{f(1)} \cdot 5^{f(2)} \cdot \cdots \cdot p_{n}^{f(n)} \end{align}

集合 $A_{f}$ を次の式で定めます.

\begin{align} A_{f} := \{ a(f;n) \in \mathbb{N} \ | \ n \in \mathbb{N} \} \end{align}

このとき, 任意の相異なる写像 $f, \, g : \mathbb{N} \to \{ 1, \, 2 \}$ に対して, 集合 $A_{f} \cap A_{g}$ の濃度は高々有限となります.

( $m_{0} := \min \{ m \ | \ f(m) \neq g(m) \}$ と置けば, $m_{0}$ 番目以降の $n$ でずっと $a(f;n) \neq a(g;n)$ となるから.)

脱線になりますが, 一般に, $f \neq g \Rightarrow | A_{f} \cap A_{g} | \lneq \infty$ となるような集合族 $\{ A_{f} \}_{f}$ を「almost disjoint family」(略して AD family) と呼びます.

また, 極大な AD family を「maximal almost disjoint family」(略して MAD family) と呼びます.

「MAD family」でググったら「大阪 MAD ファミリー」という漫画がヒットします.

(注意 : 数学を題材にした漫画ではありません.)

さて, 本題に戻ります.

数列 $\big( \chi_{f} (1) , \ \chi_{f} (2), \ \dots \big)$ を次の式で定めます.

\begin{align} \chi_{f} (n) := \begin{cases} 1 & (n \in A_{f} \, のとき) \\ 0 & (n \notin A_{f} \, のとき) \end{cases} \end{align}

この数列を $\chi_{f}$ と記すことにします.

(つまり, $\chi_{f}$ は集合 $A_{f}$ の特性関数.)

すると！

写像 $f$ を動かして得られる数列 $\chi_{f}$ たち全体の集合について, 次の定理が成り立ちます！

定理 1 $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ の部分集合 $I$ を次の式で定める.
\begin{align} I := \left\{ \chi_{f} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \ \middle| \ f : \mathbb{N} \to \{ 1, 2 \} \right\} \end{align}
すると, 次の (1), (2) が成り立つ.

(1) $I$ の濃度は非可算となる.

(2) $I$ は $\mathbb{R}$ 上線形独立となる.

(1) の証明

任意の 2 つの写像 $f, \ g : \mathbb{N} \to \{ 1, \, 2 \}$ に対して, 次が成り立ちます.

\begin{align} \chi_{f} = \chi_{g} \Longleftrightarrow f = g \end{align}

よって, $I$ の濃度は, 写像 $f : \mathbb{N} \to \{ 1 \, 2 \}$ たち全体の濃度と等しくなります.

したがって, $|I| = \left| 2^{\mathbb{N}} \right| \gneq | \mathbb{N} |$ となります.

(2) の証明

有限個の相異なる数列 $\chi_{f_{1}}, \chi_{f_{2}}, \dots , \chi_{f_{n}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ を任意に取ります.

次の等式を満たすような実数 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots , \lambda_{n} \in \mathbb{R}$ を任意に取ります.

\begin{align} \lambda_{1} \chi_{f_{1}} + \lambda_{2} \chi_{f_{2}} + \cdots + \lambda_{n} \chi_{f_{n}} = (0,0,\dots ) \end{align}

目標 : $\lambda_{1} = \lambda_{2} = \cdots = \lambda_{n} = 0$ となることを示す！

任意の相異なる写像 $f_{i}$ , $f_{j}$ に対して, 正整数 $m_{i,j} \in \mathbb{N}$ を次の式で定めます.

\begin{align} m_{i,j} := \min \{ m \in \mathbb{N} \ | \ f_{i} (m) \neq f_{j} (m) \} \end{align}

すると, 任意の $k \geq m_{i,j}$ に対して $a(f_{i},k) \notin A_{f_{j}}$ となります.

( $p_{m_{i,j}}$ の指数に注目すれば分かります.)

そして, 正整数 $M_{i}$ を次の式で定めます.

\begin{align} M_{i} := \max \{ m_{i,j} \in \mathbb{N} \ | \ j = 1, 2, \dots , n \} \end{align}

すると, 任意の $f_{j} (\neq f_{i})$ に対して次が成り立ちます.

\begin{align} a(f_{i},M_{i}) \notin A_{f_{j}} \end{align}

よって, 各数列 $\chi_{f_{j}}$ の $a(f_{i},M_{i})$ 番目の成分について, 次が成り立ちます.

\begin{align} \chi_{f_{j}} \big( a(f_{i},M_{i}) \big) = \begin{cases} 1 & (i = j \, のとき) \\ 0 & (i \neq j \, のとき) \end{cases} \end{align}

さて, $i = 1, 2, \dots, n$ を任意に取ります.

数列 $\big( s(1), \, s(2) , \, \dots \big)$ を次の式で定めます.

\begin{align} s(n) := \big( \lambda_{1} \chi_{f_{1}} + \lambda_{2} \chi_{f_{2}} + \cdot + \lambda_{n} \chi_{f_{n}} \big) (n) \end{align}

この数列を $s$ と置きます.

上記の $a(f_{i},M_{i})$ の性質から, 数列 $s$ の $a(f_{i},M_{i})$ 番目の成分は次のように表せます.

\begin{align} s \big( a(f_{i},M_{i}) \big) = \lambda_{i} \end{align}

一方, (2) の証明の初めの方 (「目標」の上らへん) の前提から, $s = (0,0,\dots)$ です.

つまり, $s \big( a( f_{i},M_{i} ) \big)$ は次のようにも表せます.

\begin{align} s \big( a(f_{i},M_{i}) \big) = 0 \end{align}

よって, $\lambda_{i} = 0$ となります.

今, $i$ は任意に取ってきているので, 次の式が得られます.

\begin{align} \lambda_{1} = \lambda_{2} = \dots = \lambda_{n} = 0 \end{align}

これで目標の式が示せたので, $I$ が線形独立となることが示せました！

わーい！

線形独立な非可算集合の例その 2

この節で紹介する例では, いわゆる Vandermonde の行列式を使います.

任意の実数 $t \in \mathbb{R}$ に対して, 数列 $\mu_{t}$ を次の式で定めます.

\begin{align} \mu_{t} := (1, \, t, \, t^{2} \, t^{3}, \, \dots) \end{align}

この数列 $\mu_{t}$ たちについて, 次の定理が成り立ちます！

定理 2 $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ の部分集合 $I$ を次の式で定める.
\begin{align} I := \{ \mu_{t} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \ | \ t \in \mathbb{R} \} \end{align}
すると, 次の (1), (2) が成り立つ.

(1) $I$ の濃度は非可算となる.

(2) $I$ は $\mathbb{R}$ 上線形独立となる.

(1) の証明

定理 1 (1) の証明と同じなので略.

(2) の証明

有限個の相異なる数列 $\mu_{t_{1}}, \mu_{t_{2}}, \dots, \mu_{t_{n}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ を任意に取ります.

次の等式を満たすような実数 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n} \in \mathbb{R}$ を任意に取ります.

\begin{align} \lambda_{1} \mu_{t_{1}} + \lambda_{2} \mu_{t_{2}} + \cdots + \lambda_{n} \mu_{t_{n}} = ( 0, \, 0, \, \dots) \end{align}

目標 : $\lambda_{1} = \lambda_{2} = \cdots = \lambda_{n} = 0$ となることを示す！

$\mu_{t}$ から切り取った長さ $n$ の有限部分数列 $\mu_{t,n}$ を次の式で定めます.

\begin{align} \mu_{t,n} = (1, \, t, \, t^{2}, \, \dots, t^{n-1}) \end{align}

このとき, 数列たち $\mu_{t_{1},n}$ , $\mu_{t_{2},n}$ , ..., $\mu_{t_{n},n}$ について, 次の等式が成り立ちます.

\begin{align} \lambda_{1} \mu_{t_{1},n} + \lambda_{2} \mu_{t_{2}, n} + \cdots + \lambda_{n} \mu_{t_{n},n} = (0,0,\dots,0) \end{align}

よって, 目標は次のように言い換えることが出来ます.

目標の言い換え : 数列たち $\mu_{t_{1},n}$ , $\mu_{t_{n},n}$ , ..., $\mu_{t_{n},n}$ が $\mathbb{R}$ 上線形独立となることを示す！

さて, $\mu_{t_{i},n}$ たちを列ベクトルとみなして, それらを並べた行列を $M$ と置きます.

つまり, $M$ は次のような $n$ 次正方行列です.

\begin{align} M = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ t_{1} & t_{2} & t_{3} & \cdots & t_{n} \\ t_{1}^{2} & t_{2}^{2} & t_{3}^{2} & \cdots & t_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{1}^{n-1} & t_{2}^{n-1} & t_{3}^{n-1} & \cdots & t_{n}^{n-1} \end{matrix} \right) \end{align}

Vandermonde の公式から, $M$ の行列式は, 次のように表せます.

\begin{align} \det (M) = \prod_{1 \leq i \lneq j \leq n} ( t_{j} - t_{i} ) \end{align}

今, 相異なるどの $i$ , $j$ に対しても, $\mu_{t_{i}} \neq \mu_{t_{j}}$ より $t_{i} \neq t_{j}$ となります.

以上から, $M$ の行列式は $\det (M) \neq 0$ となります.

よって, $M$ の列たちは線形独立となります.

つまり, $\mu_{t_{i},n}$ たちは線形独立となります！

これで目標の事柄が示せたので, $I$ が線形独立となることが示せました！

わーい！

最後まで読んでいただき, ありがとうございました！

シン・ぱいおつ日記

ぱいおつが始まります

数列空間の線形独立な非可算集合の話

線形独立な非可算集合の例その 1

線形独立な非可算集合の例その 2

線形独立な非可算集合の例 その 1

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線形独立な非可算集合の例その 2