シン・ぱいおつ日記

ぱいおつが始まります

半角の公式の話

数学 幾何学

こんにちは. 

ぱいです. 

 

三角比の半角の公式の証明を書きたくなったので, 書きます. 

半角の公式 0^{\circ} \,＜\, \theta \,＜\, 90^{\circ} とする (※).
このとき, 次の (1), (2) が成り立つ. 

(1) \cos \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{ \ \sqrt{2+2\cos\theta} \ }{2}

(2) \sin \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{ \sin \theta }{ \ 2 \cos (\theta/2) \ }

(※) どんな実数 \theta でも同じような式が成り立ちますが, とりあえず 0^{\circ} から 90^{\circ} までの範囲で考えることにします. 

 

 

準備

半径 1 の円 O を描きます. 

AB が直径となるように, 円周上に 2 点 A, B を取ります. 

∠BAC = \tfrac{\theta}{2} となるように, 円周上に点 C を取ります.

また, CH と AB が直交するように, AB 上に点 H を取ります (下図 1). 

図 1

このとき, ∠COH = \theta となります (下図 2). 

 

(∠COH = \theta となる理由)

△OAC は二等辺三角形なので, ∠OCA = \tfrac{\theta}{2} です. 

よって, ∠AOC = 180^{\circ} - (\tfrac{\theta}{2} + \tfrac{\theta}{2}) = 180^{\circ} - \theta となります. 

したがって, ∠COH = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \theta) = \theta となります. 

 

図 2

 

(1) cos の半角の公式の証明

2 通りの方法で, OH の長さを計算します. 

 

【計算方法 ①】

△COH に注目します (下図 3). 

OC = 1, ∠COH = \theta なので, OH = \cos \theta です. 

図 3

 

【計算方法 ②】

△ABC に注目します (下図 4). 

AB = 2, ∠CAB = \tfrac{\theta}{2} なので, AC = 2 \cos \tfrac{\theta}{2} です. 

図 4

次に △AHC に注目します (下図 5). 

AC = 2 \cos \tfrac{\theta}{2}, ∠CAH = \tfrac{\theta}{2} なので, AH = 2 \cos \tfrac{\theta}{2} \cos \tfrac{\theta}{2} となります. 

よって, OH = 2 \left( \cos \tfrac{\theta}{2} \right)^{2} - 1 となります. 

図 5



上記の ①, ② から, OH の長さについて次の等式が成り立ちます. 

\begin{align} \cos \theta = 2 \left( \cos \dfrac{\theta}{2} \right)^{2} - 1 \end{align}

これを整理すれば, 示したかった式が得られます: 

\begin{align} \cos \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{ \ \sqrt{2+2\cos\theta} \ }{2} \end{align}

 

(2) sin の半角の公式の証明

2 通りの方法で, △ABC の面積を計算します. 

 

【計算方法 ①】

△ABC に注目します (下図 6). 

AC = 2, ∠CAB = \tfrac{\theta}{2} なので, AC = 2 \cos \tfrac{\theta}{2}, BC = 2 \sin \tfrac{\theta}{2} です. 

よって, △ABC の面積は次のように表せます. 

\begin{align} \mathrm{△ABC} &= \dfrac{1}{2} \times 2\cos\dfrac{\theta}{2} \times 2\sin\dfrac{\theta}{2} \\ &= 2 \sin\dfrac{\theta}{2}\sin\dfrac{\theta}{2} \end{align}

図 6

 

【計算方法 ②】

△COH に注目します (下図 7). 

OC = 1, ∠COH= \theta より, CH = \sin \theta です. 

図 7

よって, △ABC の面積は次のように表せます (下図 8). 

\begin{align} \mathrm{△ABC} &= \dfrac{1}{2} \times 2 \times \sin \theta \\ &= \sin \theta \end{align}

図 8

上記の ①, ② から, △ABC の面積について次の等式が成り立ちます. 

\begin{align} 2 \sin\dfrac{\theta}{2}\cos\dfrac{\theta}{2} = \sin \theta \end{align}

これを整理すれば, 示したかった式が得られます: 

\begin{align} \sin\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{\sin\theta}{ \ 2\cos(\theta/2) \ }\end{align}

 

最後まで読んでいただき, ありがとうございました！