シン・ぱいおつ日記

ぱいおつが始まります

ほとんど至る所で連続となるが, ある稠密集合上のどの点でも下半連続とならない, 病的な上半連続関数

数学解析学

こんにちは.

ぱいです.

下記 3 点の条件を同時にみたす病的な実関数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を思いついたので, 解説します.

条件

すべての点 $a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ において, $f$ は連続となる.
すべての点 $a \in \mathbb{Q}$ において, $f$ は下半連続とならない.
すべての点 $a \in \mathbb{R}$ において, $f$ は上半連続となる.

さて, 関数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を, Dirichlet の関数っぽく下記の式で定めます.

\begin{align} f (x) = \begin{cases} 0 & (x \notin \mathbb{Q} \setminus \{ 0 \} \ のとき) \\ \dfrac{1}{n} & (x \in \mathbb{Q} \setminus \{ 0 \}, \ x = \dfrac{m}{n} \ のとき) \end{cases} \end{align}

ただし, $x \in \mathbb{Q}$ のときの分数表示 $x = m/n$ は既約分数とします.

また, 分母 $n$ は必ず正となるように取り, 符号は分子 $m$ の方で調整します.

(※) このことから, すべての $x \in \mathbb{R}$ で $f(x) \geq 0$ となります.

以下, 上記の関数 $f$ が冒頭の条件 3 点を満たすことを証明します！

すべての a ∈ R \ Q で連続となることの証明
すべての a ∈ Q で下半連続とならないことの証明
すべての a ∈ R で上半連続となることの証明

すべての a ∈ R \ Q で連続となることの証明

あとで上半連続性 (3 つ目の条件) を示すので, ここでは下半連続性だけ示せば十分です.

(∵「連続 ⇔ 上半連続かつ下半連続」だから.)

$a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ を任意に取ります.

$f(x)$ に $x = a$ を代入すると, $f (a) = 0$ です.

一方, $f$ の定義直後の (※) で書いたように, すべての $x \in \mathbb{R}$ で $f(x) \geq 0$ です.

よって, 下記の不等式が成り立ちます.

\begin{align} \liminf_{x \to a} f(x) \geq f(a) \end{align}

以上から, すべての点 $a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ において, $f$ は下半連続となります.

すべての a ∈ Q で下半連続とならないことの証明

$a \in \mathbb{Q}$ を任意に取ります.

$a$ の既約分数表示を $a = m/n$ ( $n \gneq 0$ ) とおくと, $f(a) = 1/n$ です.

一方, $x \to a$ のときの $f(x)$ の下極限は $\liminf f(x) = 0$ となります.

よって, 下記の不等式が成り立ちます.

\begin{align} \liminf_{x \to a} f(x) < f(a) \end{align}

以上から, すべての点 $a \in \mathbb{Q}$ において, $f$ は下半連続となりません.

すべての a ∈ R で上半連続となることの証明

$a \in \mathbb{R}$ を任意に取ります.

$\varepsilon \gneq 0$ を任意に取ります.

$1/N \leq \varepsilon$ を満たすような自然数 $N$ も任意に取って置きます.

(参照 : 下記のイラスト)

任意の実数 $c$ と $r \geq 0$ に対して, 中心が $c$ で半径が $r$ となる開球を $B(c;r)$ と書くことにします.

つまり, $B(c;r) := \Big\{ x \in \mathbb{R} \ \Big| \ |x-c| \lneq r \Big\}$ です.

さて, $a \in B(k/N; \, 1/N)$ となるように整数 $k$ を取ります.

以下, この開球 $B(k/N; \, 1/N)$ を単に $B$ と書きます.

また, 集合 $\widehat{B}$ を $\widehat{B} := B \cap \mathbb{Q}$ と置きます.

集合 $S$ を下記の式で定めます.

\begin{align} S := \left\{ \dfrac{p}{q} \in \widehat{B} \setminus \{ a \} \ \middle| \ p \in \mathbb{Z}, \ 0 \lneq q \leq N \right\} \end{align}

ただし, $p/q$ は既約分数表示とします.

集合 $V$ を下記の式で定めます.

\begin{align} V := \Big( (B \setminus S ) \ の内部 \Big) \end{align}

すると, $V$ は $a$ の開近傍となります.

(参照 : 下記のイラスト)

$x \in V$ を任意に取り,その既約分数表示を $x = p/q$ と置きます.

すると, $S$ の定義から $N \lneq q$ となります.

このことと, $f(x) = 1/q$ と, $N$ の定義から, 下記の不等式が成り立ちます.

\begin{align} f(x) \lneq \dfrac{1}{N} \leq \varepsilon \end{align}

また, $f$ の定義直後の (※) から, $f(a) \geq 0$ です.

よって, 下記の不等式が成り立ちます.

\begin{align} f(x) \lneq \varepsilon \leq \varepsilon + f(a) \end{align}

以上から, すべての点 $a \in \mathbb{R}$ において, $f$ は上半連続となります.

最後まで読んでいただき, ありがとうございました！