こんにちは.
ぱいです.
今日は, 群論について下記の問題を解説します.
(2023/2/12 追記. 不備があったため, 条件 (4) の表現を差し替えました.)
(1)
(2)
(3)
(4)
このとき, 明らかに下記の (ア) ～ (ウ) が成り立ちます.
(ア) (1) ⇒ (2)
(イ) (2) ⇒ (3)
(ウ) (3) ⇒ (4)
では, (ア) ～ (ウ) の逆はそれぞれ成り立つでしょうか？
(目次)
(ア) (1) ⇒ (2) の逆について
(再掲)
(1)
は有限群となる.
(2)
結論から言うと, (ア) (1) ⇒ (2) の逆は成り立ちません！
つまり, (2) を満たすが (1) を満たさないような群が存在します.
以下, そのような群の反例を考えたので紹介します.
\begin{align} G := \bigg\{ \exp \Big( \dfrac{2a\pi\sqrt{-1}}{2^{N}} \Big) \in \mathbb{C} \ \bigg| \ a\, と\, N\, は非負整数 \bigg\} . \end{align}すると,
各非負整数 に対して,
の巡回部分群
を下記の式で定めます.
\begin{align} C_{N} := \bigg\{ \exp \Big( \dfrac{2a\pi\sqrt{-1}}{2^{N}} \Big) \in \mathbb{C} \ \bigg| \ a \in \mathbb{Z} \bigg\} . \end{align}
群 は下記 3 点の性質 (☆) を満たします.
性質 (☆)
- どの
の位数も,
の形で表せる.
- 位数が
の形で表せて,
を生成する.
- よって, 位数が
個) しかない.
さて, これを踏まえて, が (2) を満たすことを背理法で示します.
なお, (1) を満たさないことは明らかなので省略します.
の真部分群
で位数
となるものがあったと仮定します.
関数 を
(
の位数) と置きます.
すると, 上記の性質 (☆) の 3 点目から, は
において非有界となることが分かります.
を任意に取ります.
関数 の非有界性から,
を満たすような元
が取れます.
の上記の性質 (☆) から,
,
と表せます.
このとき, ,
の生成する部分群はそれぞれ
,
と表せるので, 下記の包含関係が成り立ちます.
\begin{align} g \in C_{N} \subset C_{M} \subset H. \end{align}以上から, 任意の が
を満たすので,
となります.
ところが, これは, が
の真部分群であることに矛盾します.
よって, 「 の真部分群
で位数
となるものがあった」という仮定は誤りとなります.
つまり, は (2) を満たすことが示せました.
したがって, は (2)
(1) の反例となっています！
わーい！
他にも, 任意に固定した素数 に対して, 下記 2 点を満たすような群
が存在するらしくて, この
たちも (ア) (1) ⇒ (2) の逆の反例となっています.
(Twitter でセミ法師さん (@CicadaHosshi) に教えていただきました. この場であらためてお礼申し上げます！)
は無限群である.
である.
この群 は「タルスキーのモンスター群」と呼ばれています.
タルスキーのモンスター群は, 1900 年代にタルスキー氏がその存在を予想し, 1979 年に オルシャンスキー氏がその存在を証明したらしいです.
詳細はあまりよく知りませんが, 参考文献のリンクを貼っておきます.
(参考文献)
A. Olshansky, An Infinite Group with Subgroups of Prime Orders , Math. USSR Izv. vol 16 (1981).
(イ) (2) ⇒ (3) の逆について
(再掲)
(2)
(3)
結論から言うと, (イ) (2) ⇒ (3) の逆も成り立ちません！
つまり, (3) を満たすが (2) を満たさないような群が存在します.
以下, そのような群の反例を紹介します.
(むぐむぐ勉強会で sei さん (Twitter: @natmatus081) に教えていただきました. この場であらためてお礼申し上げます！)
この
\begin{align} G := \prod_{N \in \mathbb{Z}} G_{N} . \end{align}すると,
((3) を満たすことの証明)
どの の位数も
以下なので,
は (3) を満たします.
((2) を満たさないことの証明)
各整数 に対して,
の部分群
を下記の式で定めます.
\begin{align} H_{N} = \begin{cases} \{ 1 \} & (N = 0), \\ \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} & (N \neq 0). \end{cases} \end{align}この たちの直積を取り, 群
を下記の式で定めます.
\begin{align} H := \prod_{N \in \mathbb{Z}} H_{N} . \end{align}すると, は
の部分群かつ無限群となります.
よって, は (2) を満たしません.
以上から, は (3)
(2) の反例となっています！
わーい！
(ウ) (3) ⇒ (4) の逆について
(再掲)
(3)
(4)
結論から言うと, (ウ) (3) ⇒ (4) の逆も成り立ちません！
つまり, (4) を満たすが (3) を満たさないような群が存在します.
以下, そのような群の反例を考えたので紹介します.
\begin{align} g := \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right), \quad h := \left( \begin{matrix} 0 & -1/2 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right). \end{align}
すると,
((4) を満たすことの証明)
も
も位数は
なので,
は (4) を満たします.
((3) を満たすことの証明)
と
の積を考えると, 下記のとおりになります.
\begin{align} gh = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{matrix} \right) . \end{align}この の位数は
なので,
は (3) を満たしません.
以上から, は (4)
(3) の反例となっています！
わーい！
まとめ
(再掲)
(1)
(2)
(3)
(4)
まとめると, 群の有限性に関する条件 (1) ～ (4) について, 下記の関係が成り立つことが分かりました.！
- (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4)
- どの矢印も, 左向き ⇐ は一般には成り立たない.
反例を考えるのって楽しいですね♪
最後まで読んでいただきありがとうございました！
