こんにちは.
ぱいです.
モジュラー群 の生成系の話シリーズ第 4 弾です.
↓↓↓ 第 1 弾 ~ 第 3 弾の記事はコチラ ↓↓↓
モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話 その 1 - シン・ぱいおつ日記
モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話 その 2 - シン・ぱいおつ日記
モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話 その 3 - シン・ぱいおつ日記
前回の第 3 弾では, 射影モジュラー群 が上半平面 へ以下のように左から作用することを確認しました:
\begin{align} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \langle z \rangle := \dfrac{az+b}{cz+d} \quad ( \forall \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} {\in} \ \mathrm{PSL} (2, \mathbb{Z} ), \ \forall \, z \in \mathbb{H} ) \end{align}
詳細は, 第 3 弾の記事をご参照ください.
さて, 今日は, を
\begin{align} S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \quad T = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}とおき, 前回の記事で証明を後回しにした下記の定理 1 を証明します.
\begin{align} F = \left\{ z \in \mathbb{H} \ \middle| \ |z| > 1 , \ -\dfrac{1}{2} < \mathrm{Re} (z) < \dfrac{1}{2} \right\} \end{align}とおく. すると, この は作用 および作用 いずれもの基本領域となる. ただし, 記号 は, 自然な全射 による各 の像とする.
証明の方針
- は において開集合である.
- 任意の点 に対して, ある触点 とある をうまく取れば とできる.
- 任意の 2 点 に対して, 「 ならば, どんな を取っても となる」が成り立つ.
- 条件 2 が作用 について成り立つこと.
- 条件 3 が作用 について成り立つこと.
条件 2 について
上半平面上の任意の点 を任意に取ります.
群の可逆性から, 条件 2 は以下の条件 2' のように言い換えることが出来ます.
(条件 2') をうまく取れば とできる.
よって, 以下, 作用 が条件 2' を満たすことを示します.
となるような を探すために, まず, に や を作用させると実部・虚部がどのように変換されるかを見てみましょう.
に を作用させると
\begin{align} [S] \langle z \rangle = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \langle z \rangle = \dfrac{-1}{z} = \dfrac{-\overline{z}}{|z|^{2}} \end{align}となるので, 実部と虚部はそれぞれ
\begin{align} \mathrm{Re} ( [S] \langle z \rangle ) = \dfrac{-\mathrm{Re}(z)}{|z|^{2}} , \quad \mathrm{Im}( [S] \langle z \rangle ) = \dfrac{\mathrm{Im}(z)}{|z|^{2}} \tag{1} \end{align}となります.
つまり, によって単位円内の点は単位円外へうつされ, 単位円外の点は単位円内へうつされます (参照: 以下の図).
に を作用させると
\begin{align} [ T ] \langle z \rangle = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \langle z \rangle = z+1 \end{align}となるので, 実部と虚部はそれぞれ
\begin{align} \mathrm{Re} ( [ T ] \langle z \rangle ) = \mathrm{Re} (z) + 1 , \quad \mathrm{Im} ( [ T ] \langle z \rangle ) = \mathrm{Im} (z) \end{align}となります.
つまり, によって各点 は実軸方向へ だけ平行移動します (参照: 以下の図).
これらを踏まえて, 以下の 2 つのステップに分けて, となるような の存在を示します.
(ステップ 1) 虚部 を調整する.
(ステップ 2) 実部 を調整する.
<ステップ 1 >
基本領域 の形は複素平面の上の方へ向かって伸びているので, の変換後の点 の虚部 は大きくしたいです.
任意の変換 に対して, の虚部は
\begin{align} \mathrm{Im} ( [ M ] \langle z \rangle ) = \dfrac{\mathrm{Im} (z)}{|cz+d|^{2}} \end{align}と表せます.
よって, 虚部 を大きくするためには, を小さくするように を選べばいいです.
さて, 複素平面 上の格子のような集合 を
\begin{align} \Lambda_{z} := \left\{ cz+d \in \mathbb{C} \ \middle| \ \exists \, a, b \in \mathbb{Z} \ \mathrm{s.t.} \ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in \langle [ S ] , [ T ] \rangle \right\} \end{align}とおきます.
となるような を任意に取り, とおきます.
より, ある で となります.
そこで, と をそれぞれ
\begin{align} M_{1} = \begin{pmatrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{pmatrix} , \quad z_{1} = [M_{1}] \langle z \rangle \end{align}とおきます.
の虚部は
\begin{align} \mathrm{Im} (z_{1}) = \dfrac{\mathrm{Im}(z)}{|c_{1}z+d_{1}|^{2}} \end{align}と表せるので, の最小性から
\begin{align} \mathrm{Im} (z_{1}) = \max \left\{ \mathrm{Im} ( [M] \langle z \rangle ) \in \mathbb{R} \ \middle| \ [ M ] \in \langle [ S ] , [ T ] \rangle \right\} \tag{2} \end{align}が成り立ちます.
(参照:以下の図)
これで, ステップ 1 の虚部の調整はおしまいです.
<ステップ 2>
次に, ズテップ 1 で作った をさらに変換することで実部を調整します.
による作用を思い出しておきましょう.
\begin{align} [T] \langle z \rangle = z + 1 \quad (\forall \, z \in \mathbb{H}) \end{align}なので, を使って を実軸方向に平行移動させることで, 虚部を調整できます.
の実軸方向の位置を とおきます.
この に対して, を で変換した像を とおきます.
つまり,
\begin{align} z_{2} = [ T^{-n} ] \langle z_{1} \rangle = z_{1} - n \end{align}とおきます.
(参照:以下の図)
さて, この が基本領域 の触点となることを確認しましょう.
つまり, 以下の 2 点を確認します.
- 実部が となっていること.
- ノルムが となっていること.
<実部について>
と から, の実軸方向の位置は
\begin{align} -\dfrac{1}{2} \leq \mathrm{Re} (z_{2}) \le \dfrac{1}{2} \end{align}となるので OK です.
<ノルムについて>
不等式 をテクニカルに示します.
まず, の虚部と の虚部が等しいことに注意しておきます.
( は実軸方向の平行移動を施す変換だから.)
つまり,
\begin{align} \mathrm{Im} (z_{2}) = \mathrm{Im} (z_{1}) \tag{3} \end{align}となります.
この式 (3) と, 先ほど式 (2) で見た の最大性と合わせれば, 以下の の最大性
\begin{align} \mathrm{Im} (z_{2}) = \max \left\{ \mathrm{Im} ( [M] \langle z \rangle ) \in \mathbb{R} \ \middle| \ [ M ] \in \langle [ S ] , [ T ] \rangle \right\} \tag{4} \end{align}が分かります.
さて, に を作用させて虚部を観察してみると, 式 (1) で確認したように,
\begin{align} \mathrm{Im} ( [ S ] \langle z_{2} \rangle ) = \dfrac{\mathrm{Im}(z_{2})}{|z_{2}|^{2}} \tag{5} \end{align}となります.
式 (4) と式 (5) を合わせれば, 以下の不等式
\begin{align} \dfrac{\mathrm{Im}(z_{2})}{|z_{2}|^{2}} = \mathrm{Im} [ S ] ( \langle z_{2} \rangle ) \leq \mathrm{Im} (z_{2}) \end{align}が分かります.
これを整理すれば,
\begin{align} | z_{2} | \geq 1 \end{align}が得られます.
以上から, となります.
つまり, を で変換すれば となります.
これで, が基本領域の条件 2 を満たすことが示せました!
条件 3 について
最後に, が条件 3 を満たすことを示します.
つまり,
\begin{align} \forall \, z, z \in F, \ \forall \, [ M ] \in \mathrm{PSL} (2, \mathbb{Z}), \ \big( z' = [ M ] \langle z \rangle \ \Longrightarrow \ z' = z \big) \end{align}を示します.
と で となるような組を任意に取ります.
対称性から, としていいです.
の代表元 を任意に取り, とおきます.
以下の 3 ステップを踏み, を示すことで を示します.
(ステップ 1) の値の候補を絞る.
(ステップ 2) , の値の候補を絞る.
(ステップ 3) の値の候補を絞る.
<ステップ 1>
まず, と から
\begin{align} | cz+d | \leq 1 \tag{6} \end{align}が成り立ちます.
また, より
\begin{align} |c| \mathrm{Im} (z) \leq \mathrm{Im} |cz| \leq |cz+d| \tag{7} \end{align}も成り立ちます.
不等式 (6), (7) より,
\begin{align} |c| \mathrm{Im} (z) \leq 1 \tag{8} \end{align}となります.
ここで, 領域 の右下の点を とおきます.
(参照 : 以下の図)
すると, より
\begin{align} \mathrm{Im} (z) > \mathrm{Im} (A) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \tag{9} \end{align}となります.
不等式 (8), (9) から となるので, となります.
ここで, もし と仮定すると, 不等式 (6) より となります.
つまり, となります.
ところが, これは に反します.
よって, となります.
<ステップ 2>
より は と表せます.
今, なので, となります.
よって, となります.
<ステップ 3>
ステップ 1 とステップ 2 の結果から, は と表せます.
よって,
\begin{align} [ M ] = \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = [ T ]^{b} \end{align}となります.
よって, となり, の実部は
\begin{align} \mathrm{Re} (z') = \mathrm{Re} (z) + b \tag{10} \end{align}と表せます.
今, より, これらの点の実部の範囲は
\begin{align} -\dfrac{1}{2} < \mathrm{Re} (z), \mathrm{Re} (z') < \dfrac{1}{2} \tag{11} \end{align}となります.
式 (10), (11) から, が分かります.
つまり, となります.
よって, となります.
以上から, が基本領域となることが証明できました!
最後まで読んでいただきありがとうございました!