シン・ぱいおつ日記

ぱいおつが始まります

モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話 その 4

こんにちは. 

ぱいです. 

 

モジュラー群  \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) の生成系の話シリーズ第 4 弾です. 

↓↓↓ 第 1 弾 ~ 第 3 弾の記事はコチラ ↓↓↓

モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話 その 1 - シン・ぱいおつ日記

モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話 その 2 - シン・ぱいおつ日記

モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話 その 3 - シン・ぱいおつ日記

 

前回の第 3 弾では, 射影モジュラー群  \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}) が上半平面  \mathbb{H} へ以下のように左から作用することを確認しました: 

\begin{align} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \langle z \rangle := \dfrac{az+b}{cz+d} \quad ( \forall \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} {\in} \  \mathrm{PSL} (2, \mathbb{Z} ), \ \forall \, z \in \mathbb{H} ) \end{align}

 

詳細は, 第 3 弾の記事をご参照ください. 

 

さて, 今日は,  S, T \in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})

\begin{align} S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \quad T = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}とおき, 前回の記事で証明を後回しにした下記の定理 1 を証明します. 

 

定理 1複素平面  \mathbb{C} 上の領域  F を 
\begin{align} F = \left\{ z \in \mathbb{H} \ \middle| \ |z| > 1 , \ -\dfrac{1}{2} < \mathrm{Re} (z) < \dfrac{1}{2} \right\} \end{align}とおく. すると, この  F は作用  \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{H} および作用  \langle [ S ], [ T ] \rangle \curvearrowright \mathbb{H} いずれもの基本領域となる. ただし, 記号  [ M ] は, 自然な全射  \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) \to \mathrm{PSL}(2, \mathbb{Z}) による各  M \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) の像とする. 

 
 

証明の方針

まず, 基本領域の定義を復習しておきましょう. 
 
 G \curvearrowright X を任意の群  G から任意の位相空間  X への任意の作用とし,  F X の任意の部分空間とします. 
このとき,  F がこの作用  G \curvearrowright X の「基本領域」であるとは,  F が以下の 3 つの条件を満たすときをいいます. 
  1.  F X において開集合である. 
  2. 任意の点  x \in X に対して, ある触点  y \in \overline{F} とある  g \in G をうまく取れば  g\cdot y = x とできる. 
  3. 任意の 2 点  x , y \in F に対して, 「 x \neq y ならば, どんな  g \in G を取っても  g \cdot y \neq x となる」が成り立つ. 
 
<条件 1 について>
 F は明らかに複素平面  \mathbb{C} の開集合なので OK です. 
 
<条件 2 と条件 3 について>
 \mathrm{PSL}(2, \mathbb{Z}) \langle [ S ], [ T ] \rangle の包含関係について 
\begin{align} \langle [S], [T] \rangle \subset \mathrm{PSL}(2, \mathbb{Z}) \end{align}が成り立ちます. 
よって, 定理 1 を証明するためには, 以下の 2 点を示せばよいです. 
 
  • 条件 2 が作用  \langle [ S ], [ T ] \rangle \curvearrowright \mathbb{H} について成り立つこと. 
  • 条件 3 が作用  \mathrm{PSL}(2, \mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{H} について成り立つこと. 
 

条件 2 について

上半平面上の任意の点  z \in \mathbb{H} を任意に取ります. 

群の可逆性から, 条件 2 は以下の条件 2' のように言い換えることが出来ます. 

 

(条件 2')  [ M ] \in \langle [ S ], [ T ] \rangle をうまく取れば  [ M ] \langle z \rangle \in \overline{F} とできる. 

 

よって, 以下, 作用  \langle [ S ] , [ T ] \rangle \curvearrowright \mathbb{H} が条件 2' を満たすことを示します. 

 

 [ M ] \langle z \rangle \in \overline{F} となるような  [ M ] \in \langle [ S ] , [ T ] \rangle を探すために, まず,  z [ S ] [ T ] を作用させると実部・虚部がどのように変換されるかを見てみましょう. 

 

 z [ S ] を作用させると

\begin{align} [S] \langle z \rangle = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \langle z \rangle = \dfrac{-1}{z} = \dfrac{-\overline{z}}{|z|^{2}} \end{align}となるので, 実部と虚部はそれぞれ 

\begin{align} \mathrm{Re} ( [S] \langle z \rangle ) = \dfrac{-\mathrm{Re}(z)}{|z|^{2}} , \quad \mathrm{Im}( [S] \langle z \rangle ) = \dfrac{\mathrm{Im}(z)}{|z|^{2}} \tag{1} \end{align}となります. 

つまり,  [ S ] によって単位円内の点は単位円外へうつされ, 単位円外の点は単位円内へうつされます (参照: 以下の図). 

 

変換 [S] のイメージ

 

 z [ T ] を作用させると 

\begin{align} [ T ] \langle z \rangle = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \langle z \rangle = z+1 \end{align}となるので, 実部と虚部はそれぞれ 

\begin{align} \mathrm{Re} ( [ T ] \langle z \rangle ) = \mathrm{Re} (z) + 1 , \quad \mathrm{Im} ( [ T ] \langle z \rangle ) = \mathrm{Im} (z) \end{align}となります. 

つまり,  [ T ] によって各点  z \in \mathbb{H} は実軸方向へ  +1 だけ平行移動します (参照: 以下の図). 

 

変換 [T] のイメージ

 

これらを踏まえて, 以下の 2 つのステップに分けて,  [ M ] \langle z \rangle \in \overline{F} となるような  [ M ] \in \langle [ S ] , [ T ] \rangle の存在を示します. 

 

(ステップ 1) 虚部  \mathrm{Im} を調整する. 

(ステップ 2) 実部  \mathrm{Re} を調整する. 

 

<ステップ 1 >

基本領域  F の形は複素平面の上の方へ向かって伸びているので,  z の変換後の点  z' の虚部  \mathrm{Im} (z') は大きくしたいです. 

 

任意の変換  [ M ] = \left[ \begin{smallmatrix} a \ \ b \\ c \ \ d \end{smallmatrix}  \right] \in \langle [ S ], [ T ] \rangle に対して,  [ M ] \in \langle z \rangle の虚部は 

\begin{align} \mathrm{Im} ( [ M ] \langle z \rangle ) = \dfrac{\mathrm{Im} (z)}{|cz+d|^{2}} \end{align}と表せます. 

よって, 虚部  \mathrm{Im} ( [ M ] \langle z \rangle ) を大きくするためには,  |cz+d| を小さくするように  [ M ] を選べばいいです. 

 

さて, 複素平面  \mathbb{C} 上の格子のような集合  \Lambda_{z}

\begin{align} \Lambda_{z} := \left\{ cz+d \in \mathbb{C} \ \middle| \ \exists \, a, b \in \mathbb{Z} \ \mathrm{s.t.} \ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in \langle [ S ] , [ T ] \rangle \right\} \end{align}とおきます. 

 

 |\tau_{1}| = \min \{ | \tau | \in \mathbb{R} \ | \ \tau \in \Lambda_{z} \} となるような  \tau_{1} \in \Lambda_{z} を任意に取り,  \tau_{1} = c_{1} + d_{1} z とおきます. 

 \tau_{1} \in \Lambda_{z} より, ある  a_{1}, b_{1} \in \mathbb{Z} \left[ \begin{smallmatrix} a_{1} \ \ b_{1} \\ c_{1} \ \ d_{1} \end{smallmatrix} \right] \in \langle [ S ] , [ T ] \rangle となります. 

そこで,  M_{1} \in \langle S, T \rangle z_{1} \in \mathbb{H} をそれぞれ

\begin{align} M_{1} = \begin{pmatrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{pmatrix} , \quad z_{1} = [M_{1}] \langle z \rangle \end{align}とおきます. 

 

 z_{1} の虚部は 

\begin{align} \mathrm{Im} (z_{1}) = \dfrac{\mathrm{Im}(z)}{|c_{1}z+d_{1}|^{2}} \end{align}と表せるので,  c_{1}z+d_{1} の最小性から 

\begin{align} \mathrm{Im} (z_{1}) = \max \left\{ \mathrm{Im} ( [M] \langle z \rangle ) \in \mathbb{R} \ \middle| \ [ M ] \in \langle [ S ] , [ T ] \rangle \right\} \tag{2} \end{align}が成り立ちます. 

(参照:以下の図)

 

変換 z → z_1 のイメージ

 

これで, ステップ 1 の虚部の調整はおしまいです. 

 

<ステップ 2>

次に, ズテップ 1 で作った  z_{1} をさらに変換することで実部を調整します. 

 

 [ T ] による作用を思い出しておきましょう. 

\begin{align} [T] \langle z \rangle = z + 1 \quad (\forall \, z \in \mathbb{H}) \end{align}なので,  [ T ] を使って  z_{1} を実軸方向に平行移動させることで, 虚部を調整できます. 

 

 z_{1} の実軸方向の位置を  -\tfrac{1}{2} + n \leq \mathrm{Re} (z_{1}) \le \tfrac{1}{2} + n とおきます. 

この  n に対して,  z_{1} [ T^{-n} ] で変換した像を  z_{2} とおきます. 

つまり, 

\begin{align} z_{2} = [ T^{-n} ] \langle z_{1} \rangle = z_{1} - n \end{align}とおきます. 

(参照:以下の図)

 

変換 z_1 → z_2 のイメージ

 

さて, この  z_{2} が基本領域  F の触点となることを確認しましょう. 

つまり, 以下の 2 点を確認します. 

  • 実部が  | \mathrm{Re} (z_{2}) | \leq 1/2 となっていること. 
  • ノルムが  | z_{2} | \geq 1 となっていること. 

 

<実部について>

 -\tfrac{1}{2} + n \leq z_{1} \le \tfrac{1}{2} + n z_{2} = z_{1} - n から,  z_{2} の実軸方向の位置は

\begin{align} -\dfrac{1}{2} \leq \mathrm{Re} (z_{2}) \le \dfrac{1}{2} \end{align}となるので OK です. 

 

<ノルムについて>

不等式  | z_{2} | \geq 1 をテクニカルに示します. 

 

まず,  z_{2} = [ T^{-n} ] \langle z_{1} \rangle の虚部と  z_{1} の虚部が等しいことに注意しておきます. 

( \because  [ T ] は実軸方向の平行移動を施す変換だから.) 

つまり, 

\begin{align} \mathrm{Im} (z_{2}) = \mathrm{Im} (z_{1}) \tag{3} \end{align}となります. 

この式 (3) と, 先ほど式 (2) で見た  \mathrm{Im} (z_{1}) の最大性と合わせれば, 以下の  \mathrm{Im} (z_{2}) の最大性 

\begin{align} \mathrm{Im} (z_{2}) = \max \left\{ \mathrm{Im} ( [M] \langle z \rangle ) \in \mathbb{R} \ \middle| \ [ M ] \in \langle [ S ] , [ T ] \rangle \right\} \tag{4} \end{align}が分かります. 

 

さて,  z_{2} [ S ] を作用させて虚部を観察してみると, 式 (1) で確認したように, 

\begin{align} \mathrm{Im} ( [ S ] \langle z_{2} \rangle ) = \dfrac{\mathrm{Im}(z_{2})}{|z_{2}|^{2}} \tag{5} \end{align}となります.  

式 (4) と式 (5) を合わせれば, 以下の不等式 

\begin{align} \dfrac{\mathrm{Im}(z_{2})}{|z_{2}|^{2}} = \mathrm{Im} [ S ] ( \langle z_{2} \rangle ) \leq \mathrm{Im} (z_{2}) \end{align}が分かります. 

これを整理すれば, 

\begin{align} | z_{2} | \geq 1 \end{align}が得られます. 

 

以上から,  z_{2} \in \overline{F} となります. 

つまり,  z [ T ]^{-n} [ M_{1} ] で変換すれば  [ T ]^{-n} [ M_{1} ] \langle z \rangle = z_{2} \in \overline{F} となります. 

 

これで,  F が基本領域の条件 2 を満たすことが示せました!

 

 

条件 3 について

最後に,  F が条件 3 を満たすことを示します. 

つまり, 

\begin{align} \forall \, z, z \in F, \ \forall \, [ M ] \in \mathrm{PSL} (2, \mathbb{Z}), \ \big( z' = [ M ] \langle z \rangle \ \Longrightarrow \ z' = z \big) \end{align}を示します. 

 

 z, z' \in F [ M ] \in \mathrm{PSL} (2, \mathbb{Z}) z' = [ M ] \langle z \rangle となるような組を任意に取ります. 

対称性から,  \mathrm{Im} (z) \leq \mathrm{Im} (z') としていいです. 

 

 [ M ] の代表元  M を任意に取り,  M = \left( \begin{smallmatrix} a \ \ b \\ c \ \ d \end{smallmatrix} \right) とおきます. 

以下の 3 ステップを踏み,  [ M ] = [ \mathbf{1}_{2} ] を示すことで  z' = z を示します. 

 

(ステップ 1)  c の値の候補を絞る. 

(ステップ 2)  a,  d の値の候補を絞る. 

(ステップ 3)  b の値の候補を絞る. 

 

<ステップ 1>

まず,  \mathrm{Im} (z) \leq \mathrm{Im} (z') \mathrm{Im} (z') = \mathrm{Im} (z) / |cz+d|^{2} から

\begin{align} | cz+d | \leq 1 \tag{6} \end{align}が成り立ちます. 

 

また,  \mathrm{Im} (cz) = \mathrm{Im} (cz+d) より

\begin{align} |c| \mathrm{Im} (z) \leq \mathrm{Im} |cz| \leq |cz+d| \tag{7} \end{align}も成り立ちます. 

 

不等式 (6), (7) より, 

\begin{align} |c| \mathrm{Im} (z) \leq 1 \tag{8} \end{align}となります. 

 

ここで, 領域  F の右下の点を  A = e^{2\pi i / 6} とおきます. 

(参照 : 以下の図)

 

すると,  z \in F より

\begin{align} \mathrm{Im} (z) > \mathrm{Im} (A) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \tag{9} \end{align}となります. 

 

不等式 (8), (9) から  |c| \leq 2 / \sqrt{3} となるので,  c = 0, \pm 1 となります. 

 

ここで, もし  c = \pm 1 と仮定すると, 不等式 (6) より  | d \pm z | \leq 1 となります. 

つまり,  d = 0 となります. 

ところが, これは  \left( \begin{smallmatrix} a \ \ b \\ c \ \ d \end{smallmatrix} \right) \in \mathrm{SL} (2,\mathbb{Z}) に反します. 

よって,  c=0 となります. 

 

<ステップ 2>

 c=0 より  M M = \left( \begin{smallmatrix} a \ \ b \\ 0 \ \ d \end{smallmatrix} \right) と表せます. 

今,  M \in \mathrm{SL} (2, \mathbb{Z}) なので,  ad = 1 となります. 

よって,  a = d = \pm 1 となります. 

 

<ステップ 3>

ステップ 1 とステップ 2 の結果から,  M M = \left( \begin{smallmatrix} \pm 1 \ \ \ b \\ \ 0 \ \ \ \pm 1 \end{smallmatrix} \right) と表せます. 

よって, 

\begin{align} [ M ] = \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = [ T ]^{b} \end{align}となります. 

よって,  z' = [ T ]^{b} \langle z \rangle = z+b となり,  z' の実部は 

\begin{align} \mathrm{Re} (z') = \mathrm{Re} (z) + b \tag{10} \end{align}と表せます. 

 

今,  z, z' \in F より, これらの点の実部の範囲は 

\begin{align} -\dfrac{1}{2} < \mathrm{Re} (z), \mathrm{Re} (z') < \dfrac{1}{2} \tag{11} \end{align}となります. 

 

式 (10), (11) から,  b = 0 が分かります. 

つまり,  M = \left( \begin{smallmatrix} \pm 1 \ \ \ 0 \\ \ 0 \ \ \ \pm 1 \end{smallmatrix} \right) = \pm \mathbf{1}_{2} となります. 

 

よって,  z' = [ M ] \langle z \rangle = [ \mathbf{1}_{2} ] \langle z \rangle = z となります. 

 

以上から,  F が基本領域となることが証明できました!

 

最後まで読んでいただきありがとうございました!