2023-01-01から1年間の記事一覧
こんにちは. ぱいです. 一般に, 5 次以上の代数方程式は四則演算とベキ根を取る操作で代数的に解くことは不可能と知られています. しかし, 特別な関数を用いて解析的に解くことは可能とも知られています. 最近, オンライン上のゼミで, その解析的解法につい…
こんにちは. ぱいです. 最近, むぐむぐ勉強会でゼミを立ち上げて, 5次方程式の解析的解法について皆で学んでいます. そのゼミのテキストで面白い公式が出てきて, 面白かったので紹介します. (後述の定理 2 です.) ザックリ言うと, 行列式の余因子展開の「…
こんにちは. ぱいです. 先日二項係数の計算をしていたら面白い問題を思いつきました: 問題 と を正整数とし, とする (※). このとき, 二項係数 が平方数となるような組 は, 高々有限個しか存在しないか?それとも無限個存在するか? (※) としている理由は, も…
こんにちは. ぱいです. このあいだむぐむぐ勉強会で部分環の定義について雑談をして, 楽しかったです. そこで, 今日の記事のテーマは, 部分環の定義です. ※なお, この記事では, 環は必ず単位元を持つものとします. ※可換性は特に気にしません. 早速ですが, …
こんにちは. ぱいです. このあいだ会社の図書室で本を立ち読みしていたら面白い問題があって面白かったので, 紹介します. (参考文献 [1] の p.49, 演習問題 2.8) 問題次の極限はいくらに収束するか?\begin{align} \lim_{n \to \infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n…
こんにちは. ぱいです. 今日はアクチュアリー記号の計算の話を書きます. 早速ですが, 次のような条件をみたす年金を考えます. 予定利率 (※) : 年金給付期間: 年金給付条件:被保険者の生死によらず給付する (確定年金) 年金給付額 : 年目の年度初めに年金…
こんにちは. ぱいです. 今日は, 数列のいろいろな性質を示すときに母関数が役に立つという話を書きます. 例えば, 二項係数 に関する次の定理を見てみましょう. ただし, は, 非負整数 , () に対して次の式で定義される数列です. \begin{align} {}_{n} \mathrm…
こんにちは. ぱいです. 野球の世界大会 World Baseball Classic (WBC) で日本のチームが優勝して, 世間は盛り上がっていますね. じつは, その裏で, 与えられた線形空間に対してその基底を求める競技 World Basis Classic も密かに開催されていました. うそで…
こんにちは. ぱいです. 最近, むぐむぐ勉強会で数理統計学ゼミに参加して楽しい日々を送っています. そこで, 今日は次の問題を解説します. 問題 とする. (1) 次のモーメントが存在すれば, 次のモーメントも存在するか?(2) 次のモーメントが存在すれば, 次の…
こんにちは. ぱいです. 三角比の半角の公式の証明を書きたくなったので, 書きます. 半角の公式 とする (※). このとき, 次の (1), (2) が成り立つ. (1) (2) (※) どんな実数 でも同じような式が成り立ちますが, とりあえず から までの範囲で考えることにしま…
こんにちは. ぱいです. 今日は, 群論について下記の問題を解説します. (2023/2/12 追記. 不備があったため, 条件 (4) の表現を差し替えました.) 問題 を群として, 下記の条件 (1) ~ (4) を考えます. (1) は有限群となる. (2) のどんな真部分群も有限群とな…
こんにちは. ぱいです. 今朝, 線分と長方形の区別についてこんなツイートをしました. ただの独り言ですが、集合論が線分と長方形を区別できないのは、意図的に区別してないだけであって、全く欠陥ではありません。線分と長方形の「形の違い」を区別したいの…
こんにちは. ぱいです. 文章を隠したり表示させたりする技を習得しました. (2023/02/05 11:40 追記. スマホ版だと上手く機能してくれなかったので, 全然習得できていませんでした!!! この記事は, パソコンで読むことを想定しています. スマホで読むと意味…
こんにちは. ぱいです. 大学入試の季節ですね. 今日は, 下記の入試問題を解説します. 問題 でない複素数からなる集合 は次を満たしているとする。 \begin{align} G\, の任意の要素 \, z、w \, の積 \, zw \, は再び \, G \, の要素である\end{align} を正の…
こんにちは. ぱいです. 明けましておめでとうございます. 今年も数学の記事を書いていきますので, よろしくお願いいたします. さて, 2023 年になったということで, 今年 1 発目の記事のテーマは「位数 2023 の群の分類」です! つまり, 位数 2023 の群をすべ…