こんにちは.
ぱいです.
このあいだ会社の図書室で本を立ち読みしていたら面白い問題があって面白かったので, 紹介します. (参考文献 [1] の p.49, 演習問題 2.8)
\begin{align} \lim_{n \to \infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{ \ n^{k} \ }{ \ k! \ } = ？ \end{align}
この問題の意味は,「指数関数 とその巾級数表示の部分和
を戦わせてみよう！どっちの方がどれくらい速く発散するかな！？」という感じだと思います.
目次
準備：ポアソン分布の定義と性質
ポアソン分布を考えたら解けるというヒントが付いているので, ポアソン分布の定義と基本的な性質を述べておきます.
\begin{align} \mathrm{Pr}(\mathbf{X}=k) = \dfrac{ \ e^{-\lambda} \cdot \lambda^{k} \ }{ k! } . \end{align}
このことを,
このとき,
\begin{align} \mathrm{E}[\mathbf{X}] = \lambda, \quad \mathrm{Var}[\mathbf{X}] = \lambda . \end{align}
(証明)
ポアソン分布は再生性を持ちます.
つまり, 複数個の確率変数 たちがいずれもポアソン分布に従うとき, その和
もまたポアソン分布に従います.
すると, 確率変数の和
(証明)
のときを示せば十分なので, 以下,
とする.
和 の確率関数は, 次のように表せる.
\begin{align} \mathrm{Pr} ( \mathbf{X}_{1}+\mathbf{X}_{2} = k) & = \sum_{i+j=k} \mathrm{Pr}(\mathbf{X}_{1}=i) \cdot \mathrm{Pr}(\mathbf{X}_{2}=j) \\ & = \sum_{i+j=k} \dfrac{ \ e^{-\lambda_{1}} \cdot \lambda_{1}{}^{i} \ }{ i! } \cdot \dfrac{ \ e^{-\lambda_{2}} \cdot \lambda_{2}{}^{j} \ }{ j! } \\ & = \dfrac{ e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})} } { k! } \sum_{i+j=k} \dfrac{ k! }{ \ i! \, j! \ } \, \lambda_{1}{}^{i} \, \lambda_{2}{}^{j} . \end{align}
の部分に二項定理を用いれば, 次のように整理できる.
\begin{align} \mathrm{Pr} ( \mathbf{X}_{1}+\mathbf{X}_{2} = k) & = \dfrac{ e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})} } { k! } \, ( \lambda_{1}+\lambda_{2} )^{k} . \end{align}
よって, は, パラメータ
のポアソン分布に従う. ■
問題の解答例
準備ができたので, 問題の解答例を書きます.
\begin{align} \lim_{n \to \infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{ \ n^{k} \ }{ \ k! \ } = ？ \end{align}
そういえばヒントで中心極限定理も使うと書いていたので, 中心極限定理のステートメントも書いておきます.
(2023/06/25 追記. n回生マンにご指摘いただき, 書き直しました.)
このとき, 次の公式が成り立つ:
\begin{align} \mathrm{Pr} \left( \dfrac{ \ \sum_{i=0}^{n} \mathbf{X}_{i} - n\mu \ }{ \sqrt{ns^{2}} } \leq x \right) \longrightarrow \int_{-\infty}^{x} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^{2}/2} \mathrm{d}t \quad (n \to \infty). \end{align}
これでほんとに準備が整ったので, 問題の解答例を書きます.
(問題の解答例)
を任意の正整数とする.
,
, ...,
を離散な確率変数とし, 各
で
とする.
すると, ポアソン分布の再生性から, 和は となる.
この和について, となるような確率は, 次のように表せる.
\begin{align} \mathrm{Pr} \left( \sum_{i=1}^{n} \mathbf{X}_{i} \leq n \right) & = \sum_{k=0}^{n} \mathrm{Pr} \left( \sum_{i=1}^{n} \mathbf{X}_{i} = k \right) \\ & = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{ \ e^{-n} \cdot n^{k} \ }{ k! } \\ & = e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{ \ n^{k} \ }{ \ k! \ }. \end{align}
一方, 各 の平均と分散はそれぞれ
,
なので, 中心極限定理から,
の極限は次のように表せる.
\begin{align} \lim_{n\to\infty} \mathrm{Pr} \left( \sum_{i=1}^{n} \mathbf{X}_{i} \leq n \right) & = \mathrm{Pr} \left( \dfrac{ \ \sum_{i=1}^{n} \mathbf{X}_{i} - n \mathrm{E} [\mathbf{X}_{i}] \ }{ \ \sqrt{n\mathrm{Var}[\mathbf{X}_{i}]} \ } \leq 0 \right) \\ & = \int_{-\infty}^{0} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-t^{2}/2} \mathrm{d}t \\ & = \dfrac{1}{2} . \end{align}
以上から, 求める極限は次のとおり表せる.
\begin{align} \lim_{n \to \infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{ \ n^{k} \ }{ \ k! \ } = \dfrac{1}{2} . \end{align}
■
ポアソン分布の性質とか中心極限定理とかって, 実務的な統計とかの問題以外にもこんな使い方が出来るんですね.
面白かったので紹介しました.
最後まで読んでいただき, ありがとうございました！
参考文献
[1] 黒田耕嗣, 生保年金数理 I 理論編, 培風館, 2007.
