二項係数 nCk が平方数となるような n と k

こんにちは.

ぱいです.

先日二項係数の計算をしていたら面白い問題を思いつきました:

問題 $n$ と $k$ を正整数とし, $k \neq 0, \ 1, \ n-1, \ n$ とする (※).
このとき, 二項係数 ${}_{n} \mathrm{C}_{k}$ が平方数となるような組 $(n,k)$ は, 高々有限個しか存在しないか？それとも無限個存在するか？

(※) $k \neq 0, \ 1, \ n-1, \ n$ としている理由は, もし $k \neq 0, \ 1, \ n-1, \ n$ を許したら, ${}_{n} \mathrm{C}_{0} = 1^{2}$ や ${}_{n}\mathrm{C}_{1} = n$ から, 平方数となるような二項係数を簡単に無限個作れてしまって面白くないから.

解答例は, 「続きを読む」からどうぞ.

(目次)

問題の解答例
研究課題？

問題の解答例

二項係数 ${}_{n} \mathrm{C}_{k}$ が平方数となるような組 $(n,k)$ は無限個存在する.

以下, そのことを証明する.

下記の初期条件と漸化式を満たすような任意の数列 $a_{n}$ を考える.

初期条件: ${}_{a_{1}} \mathrm{C}_{2}$ が平方数となる.
漸化式: $a_{n+1} = (2a_{n}-1)^{2}$ .

すると, 次の等式が成り立つ.

\begin{align} {}_{a_{n+1}} \mathrm{C}_{2} &= \dfrac{ \ a_{n+1} (a_{n+1}-1) \ }{2} \\ &= \dfrac{ \ (2a_{n}-1)^{2} \Big( (2a_{n}-1)^{2} - 1 \Big) \ }{2} \\ &= \Big( 2(2a_{n}-1) \Big)^{2} \cdot \dfrac{ \ a_{n} ( a_{n}-1 ) \ }{2} \\ &= \Big( 2(2a_{n}-1) \Big)^{2} \cdot {}_{a_{n}} \mathrm{C}_{2} .\end{align}

よって, 帰納的に, すべての $n \geq 1$ に対して ${}_{a_{n}} \mathrm{C}_{2}$ は平方数となる.