こんにちは. ぱいです. 京都大学の入試の過去問でこんな問題があります. 京大の過去問 (2006年後期) は有理数か？ この過去問の解答例はいろんなサイトで解説され尽くしているので割愛します. が有理数かどうかを考えたら, 今度は や についても次のような問…

こんにちは. ぱいです. 今日は, アイゼンシュタインの判定法の判定法について書きます. つまり, 多項式の既約判定がテーマです. (「判定法の判定法」は誤植ではないです.) なお, この記事では, 多項式の係数が整数の場合だけ を扱います. 整数全体の集合を …

こんにちは. ぱいです. 一般に, 5 次以上の代数方程式は四則演算とベキ根を取る操作で代数的に解くことは不可能と知られています. しかし, 特別な関数を用いて解析的に解くことは可能とも知られています. 最近, オンライン上のゼミで, その解析的解法につい…

こんにちは. ぱいです. 最近, むぐむぐ勉強会でゼミを立ち上げて, 5次方程式の解析的解法について皆で学んでいます. そのゼミのテキストで面白い公式が出てきて, 面白かったので紹介します. （後述の定理 2 です.） ザックリ言うと, 行列式の余因子展開の「…

こんにちは. ぱいです. このあいだむぐむぐ勉強会で部分環の定義について雑談をして, 楽しかったです. そこで, 今日の記事のテーマは, 部分環の定義です. ※なお, この記事では, 環は必ず単位元を持つものとします. ※可換性は特に気にしません. 早速ですが, …

こんにちは. ぱいです. 野球の世界大会 World Baseball Classic (WBC) で日本のチームが優勝して, 世間は盛り上がっていますね. じつは, その裏で, 与えられた線形空間に対してその基底を求める競技 World Basis Classic も密かに開催されていました. うそで…

こんにちは. ぱいです. 今日は, 群論について下記の問題を解説します. (2023/2/12 追記. 不備があったため, 条件 (4) の表現を差し替えました.) 問題 を群として, 下記の条件 (1) ～ (4) を考えます. (1) は有限群となる. (2) のどんな真部分群も有限群とな…

こんにちは. ぱいです. 今朝, 線分と長方形の区別についてこんなツイートをしました. ただの独り言ですが、集合論が線分と長方形を区別できないのは、意図的に区別してないだけであって、全く欠陥ではありません。線分と長方形の「形の違い」を区別したいの…

こんにちは. ぱいです. 大学入試の季節ですね. 今日は, 下記の入試問題を解説します. 問題 でない複素数からなる集合 は次を満たしているとする。 \begin{align} G\, の任意の要素 \, z、w \, の積 \, zw \, は再び \, G \, の要素である\end{align} を正の…

こんにちは. ぱいです. 明けましておめでとうございます. 今年も数学の記事を書いていきますので, よろしくお願いいたします. さて, 2023 年になったということで, 今年 1 発目の記事のテーマは「位数 2023 の群の分類」です！ つまり, 位数 2023 の群をすべ…

こんにちは. ぱいです. 今日は下記の問題の解答例を書きます. 問題左逆元を無数に持つけど右逆元をひとつも持たないような反例は存在するか？ 「続きを読む」の下の方に解答例を載せるので, 自分で考えたい人は気を付けてください.

こんにちは. ぱいです. モジュラー群 の生成系の話シリーズ第 4 弾です. ↓↓↓ 第 1 弾 ～ 第 3 弾の記事はコチラ ↓↓↓ モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話 その 1 - シン・ぱいおつ日記 モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話 その 2 - シン・ぱいおつ日記 モジュ…

こんにちは. ぱいです. モジュラー群 の生成系の話シリーズ第 3 弾です. 前回・前々回で, Euclid の互除法や連分数との関連性を追いながらモジュラー群 の生成系を見ました. ↓ 前回の記事はこちら end-of-paiotu.hatenablog.com 今回は, と複素平面との関連…

こんにちは. ぱいです. 前回の記事に引き続き, モジュラー群 の生成系に関する話を書きます. ↓ 前回の記事はこちら end-of-paiotu.hatenablog.com の生成系を幾何的に求める話を書くと予告しましたが, 小ネタを思いついたのでちょっと予定を変更します. 最近…

こんにちは. ぱいです. 先週, オンラインの整数論ゼミで群の基礎的な概念についての発表をしました. その発表の中で, モジュラー群 の生成系の話をしました. は以下の 2 種類の行列で生成されます. \begin{align} \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) = \left\langle …

こんにちは. ぱいです. BUMP OF CHICKEN の最新曲「クロノスタシス」, いい曲ですよね. 最近, 仕事中も数学をしている時もずっとこの曲ばかり聴いて過ごしています. www.youtube.com 何度も聴いているうちに, じつはこの曲は, 有限体上の多項式環 が有理整数…