Riemann のゼータ関数 ζ(s) と Dirichlet の L 級数 L(s,χ) の関係の話

こんにちは.

ぱいです.

今日は, 下記 2 つの関数の関係性を解説します.

Riemann のゼータ関数 $\zeta (s)$
Dirichlet の L 級数 $L(s,\chi)$

■ 目次

Riemann のゼータ関数 ζ(s) の定義と Euler 積
Dirichlet の L 級数 L(s,χ) の定義と Euler 積
ζ(s) と L(s,χ) の関係

Riemann のゼータ関数 ζ(s) の定義と Euler 積

この節では, Riemann のゼータ関数 $\zeta (s)$ を定義し, $\zeta (s)$ の Euler 積表示と呼ばれる性質を解説します.

複素関数 $\zeta (s)$ を, 複素平面の右半分 $\mathrm{Re} (s) \gneq 1$ において絶対収束する下記の級数で定義します.

この関数 $\zeta (s)$ を Riemann のゼータ関数と呼びます.

\begin{align} \zeta (s) := \sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^{s}} \quad ( \mathrm{Re} (s) > 1 ) \end{align}

この関数 $\zeta (s)$ と Dirichlet の L 級数 $L(s,\chi)$ との関係を見るための準備として、次の定理 1 を紹介しておきます.

なお, この定理 1 の等式を $\zeta (s)$ の Euler 積表示と呼びます.

定理 1 $\zeta (s)$ を Riemann のゼータ関数とする.
このとき, $\mathrm{Re} (s) \gneq 1$ において, 下記の等式が成り立つ.

\begin{align} \zeta (s) = \prod_{p : \text{prime}} \left( 1 - \dfrac{1}{p^{s}} \right)^{-1} \end{align}

(定理 1 の証明)

右辺において, 各項 $\left( 1 - 1/p^{s} \right)^{-1}$ は等比数列の級数です (初項 $1$ , 公比 $1/p^{s}$ ).

よって, 右辺は下記のように書き換えられます.

\begin{align} \prod_{p : \text{prime}} \left( 1 - \dfrac{1}{p^{s}} \right)^{-1} = \prod_{p : \text{prime}} \left( \sum_{k \geq 0} \dfrac{1}{p^{rs}} \right) \end{align}

この級数の積を頑張って展開すると, 下記のようになります.

\begin{align} & \prod_{p : \text{prime}} \left( 1 - \dfrac{1}{p^{s}} \right)^{-1} \\ &= \prod_{p : \text{prime}} \left( 1 + \dfrac{1}{p^{s}} + \dfrac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \\ &= \left( 1 + \dfrac{1}{2^{s}} + \dfrac{1}{2^{2s}} + \cdots \right) \left( 1 + \dfrac{1}{3^{s}} + \dfrac{1}{3^{2s}} + \cdots \right) \left( 1 + \dfrac{1}{5^{s}} + \dfrac{1}{5^{2s}} + \cdots \right) \\ &= 1 + \dfrac{1}{3^{s}} + \dfrac{1}{5^{s}} + \cdots + \dfrac{1}{2^{s}} + \dfrac{1}{2^{s} 3^{s}} + \dfrac{1}{2^{s} 5^{s}} + \cdots + \dfrac{1}{2^{2s}} + \dfrac{1}{2^{2s} 3^{s}} + \dfrac{1}{2^{2s} 5^{s}} + \cdots \end{align}

結局, 各分数の分母にはすべての素因数分解のパターンが現れます.

よって, $\zeta (s)$ の絶対収束性に注意して, 下記の等式が成り立ちます！

\begin{align} \prod_{p : \text{prime}} \left( 1 - \dfrac{1}{p^{s}} \right)^{-1} = \sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^{s}} \end{align}

(定理 1 の証明おわり)

◎ ◎ ◎ ◎ ◎

Dirichlet の L 級数 L(s,χ) の定義と Euler 積

この節では, Dilichlet の L 級数 $L (s,\chi)$ を下記 2 ステップで定義し, その後, $L(s,\chi)$ の Euler 積表示と呼ばれる性質を解説します.

ステップ 1 : Dirichlet 指標を定義する.
ステップ 2 : Dirichlet の L 級数 $L(s,\chi)$ を定義する.

◎ ◎ ◎ ◎ ◎

■ ステップ 1

$N$ を正整数とします.

乗法群の準同型 $\chi : ( \mathbb{Z} / N \mathbb{Z} )^{\times} \to \mathbb{C}^{\times}$ を任意に取ります.

この準同型 $\chi$ は, 下記のように写像 $\widetilde{\chi} : \mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ へ自然に拡張できます.

\begin{align} \widetilde{\chi} = \begin{cases} \chi (n) & ( \gcd (n,N) = 1 ) \\ 0 & ( \gcd (n,N) \gneq 1 ) \end{cases} \end{align}

以下, この拡張した写像 $\widetilde{\chi}$ をあらためて $\chi$ と表します.

この拡張した写像 $\chi$ を $\bmod \ N$ の Dirichlet 指標と呼びます.

つまり, $\bmod \ N$ の Dirichlet 指標 $\chi$ とは, 下記の条件 (1) ～ (4) をみたすような数列のことです.

(1) $\chi (n) \neq 0$ 　( $\gcd (n,N) = 1$ のとき)
(2) $\chi (n) = 0$ 　( $\gcd (n,N) \gneq 1$ のとき)
(3) $\chi (n + kN) = \chi (n)$ 　( $\forall \, n \in \mathbb{Z}, \ \forall \, k \in \mathbb{Z}$ )
(4) $\chi (mn) = \chi (m) \chi (n)$ 　( $\forall \, m,n \in \mathbb{Z}$ )

どんな $N$ に対しても, 下記の写像 $\chi_{0} : \mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ は必ず $\bmod \ N$ の Dirichlet 指標となります.

そこで, この $\chi_{0}$ を $\bmod \ N$ の自明な Dirichlet 指標と呼びます。

\begin{align} \chi_{0} (n) = \begin{cases} 1 & ( \gcd (n,N) = 1 ) \\ 0 & ( \gcd (n,N) \gneq 1 ) \end{cases} \end{align}

$\bmod \ N$ の自明でない Dririchlet 指標のことを非自明な Dirichlet 指標と呼びます.

＜具体例 ①＞

$N = 2$ のとき, $\bmod 2$ の Dirichlet 指標は自明なものしか存在しません.

＜具体例 ②＞

$N = 3$ のとき, 下記の写像 $\chi : \mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ は $\bmod 3$ の非自明な Dirichlet 指標となります.

\begin{align} \chi (n) = \begin{cases} \pm 1 & (n \equiv \pm 1 \mod 3) \\ \ 0 & (n \equiv \ 0 \mod 3) \end{cases} \end{align}

◎ ◎ ◎ ◎ ◎

■ ステップ 2

$N$ を正整数とし, $\chi$ を $\bmod \ N$ の Dirichlet 指標とします.

複素関数 $L(s,\chi)$ を, 複素平面の右半分 $\mathrm{Re} (s) \gneq 1$ において絶対収束する下記の級数で定義します.

この関数 $L(s,\chi)$ を $\chi$ に付随する Dirichlet の L 級数と呼びます.

\begin{align} L(s,\chi) := \sum_{n \geq 1} \dfrac{ \chi (n) }{ n^{s} } \quad ( \mathrm{Re} (s) \gneq 1 ) \end{align}

◎ ◎ ◎ ◎ ◎

Dirichlet の L 級数 $L(s,\chi)$ について, 定理 1 と同様に下記の定理 2 が成り立ちます.

この定理 2 の等式を $L(s,\chi)$ の Euler 積表示と呼びます.

定理 2 $N$ を正整数とし, $\chi$ を $\bmod \ N$ の Dirichlet 指標とする.
$L(s,\chi)$ を $\chi$ に付随するDirichlet の L 級数とする.
このとき, $\mathrm{Re} (s) \gneq 1$ において, 下記の等式が成り立つ.

\begin{align} L(s,\chi) = \prod_{p : \text{prime}} \left( 1 - \dfrac{\chi (p)}{p^{s}} \right)^{-1} \end{align}

(定理 2 の証明)

定理 1 と同様なので略.

◎ ◎ ◎ ◎ ◎

ζ(s) と L(s,χ) の関係

$\chi$ が自明な Dirichlet 指標のとき, $\zeta (s)$ と $L(s,\chi)$ の間には下記の定理 3 の関係が成り立ちます.

定理 3 $\zeta (s)$ を Riemann のゼータ関数とする.
$N$ を正整数とし, $\chi_{0}$ を $\bmod \ N$ の自明な Dirichlet 指標とする.
$L(s,\chi_{0})$ を $\chi_{0}$ に付随するDirichlet の L 級数とする.
このとき, 下記の等式が成り立つ.

\begin{align} L(s,\chi_{0}) = \zeta (s) \prod_{\gcd (p,N) \neq 1} \left( 1 - \dfrac{1}{p^{s}} \right) \end{align}

(定理 3 の証明)

$\chi_{0}$ の自明性と定理 2 から, $L(s,\chi_{0})$ の Euler 積は下記の式で表せます.

\begin{align} L(s,\chi_{0}) &= \prod_{p} \Big( 1 - \dfrac{ \chi_{0} (p) }{ p^{s} } \Big)^{-1} \\ &= \left( \prod_{ \gcd (p,N) = 1 } \Big( 1 - \dfrac{ 1 }{ p^{s} } \Big)^{-1} \right) \left( \prod_{ \gcd (p,N) \neq 1 } \Big( 1 - \dfrac{ 0 }{ p^{s} } \Big)^{-1} \right) \\ &= \prod_{ \gcd (p,N) = 1 } \Big( 1 - \dfrac{ 1 }{ p^{s} } \Big)^{-1} \end{align}

よって, この辺々に $\prod_{ \gcd (p,N) \neq 1} \Big( 1 - 1/p^{s} \Big)^{-1}$ を掛ければ, 下記の等式が成り立ちます.

\begin{align} & L(s,\chi_{0}) \prod_{ \gcd (p,N) \neq 1} \Big( 1 - 1/p^{s} \Big)^{-1} \\ &= \left( \prod_{ \gcd (p,N) = 1 } \Big( 1 - \dfrac{ 1 }{ p^{s} } \Big)^{-1} \right) \left( \prod_{ \gcd (p,N) \neq 1 } \Big( 1 - \dfrac{ 1 }{ p^{s} } \Big)^{-1} \right) \\ &= \prod_{p : \text{prime}} \Big( 1 - \dfrac{1}{p^{s}} \Big)^{-1} \\ &= \zeta (s) \end{align}

なお, 最後の等号は定理 1 を使いました.

(定理 3 の証明おわり)

◎ ◎ ◎ ◎ ◎

最後の定理 3 は, 下記の Basel 問題を解くときなどに役に立ちます.

問題 4 (Basel 問題) $\zeta (s)$ を Riemann のゼータ関数とする.
このとき, $s = 2$ における特殊値 $\zeta (2)$ はどんな値に収束するか？

Basel 問題のいろいろな解き方については, またそのうち暇なときにボチボチ解説していく予定です.

お楽しみに！

最後まで読んでいただきありがとうございました！

シン・ぱいおつ日記

ぱいおつが始まります

Riemann のゼータ関数 ζ(s) と Dirichlet の L 級数 L(s,χ) の関係の話

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