大学入試問題と群論入門 (京府医2001)

こんにちは.

ぱいです.

大学入試の季節ですね.

今日は, 下記の入試問題を解説します.

問題

$0$ でない複素数からなる集合 $G$ は次を満たしているとする。

\begin{align} G\, の任意の要素 \, z、w \, の積 \, zw \, は再び \, G \, の要素である\end{align}

$n$ を正の整数とする。

このとき、

(1) ちょうど $n$ 個の要素からなる $G$ の例をあげよ。

(2) ちょうど $n$ 個の複素数からなる $G$ は (1) の例以外にないことを示せ。

(出典: 京都府立医科大学 2001 年度入試問題)

さっそく解答例の概略を述べます.

＜解答例の概略＞

(1) $G = \{ e^{2 \pi i y / n} \ | \ y = 0, 1, \cdots, \ n-1 \}$ .

(2) $z \in G$ を好きに取ると, $G$ は次のようにも表せる.

\begin{align} G = \{ gz \ | \ g \in G \}. \end{align}

よって, 両辺の要素たちの積について, 下記の等式が成り立つ.

\begin{align} (G \, のすべての要素の積) = (\{ gz \ | \ g \in G \} \, のすべての要素の積). \end{align}これを整理すると, $z^{n} = 1$ が得られる.

したがって, $G$ は必ず下記の式で表せることが分かる.

\begin{align} G &= \{ z \ | \ z^{n} = 1 \} \\ &= \left\{ e^{2 \pi i y / n} \ \middle| \ y = 0, 1, \dots, n-1 \right\}. \end{align}

＜解答例の概略おしまい＞

こんなん知識ゲーやん！！！

思いつくか思いつかへんかだけで点差出てまうやんけ！！

悪問やないか！！！！！

と思ったそこのあなたに, 朗報です.

この記事を読めば, (1) の集合の自然な求め方や (2) の証明の自然さが分かるようになります！

しかも！

その過程で群論に入門できて, 準同型定理や群の作用の基本が身に付きます！！

※この記事の内容は, 他の入試問題へあまり応用できないと思います.

そのため, 受験生の方が読まれる場合には, ただの息抜き程度に軽い気持ちで楽しんでいただければ幸いです.

(目次)

第1章　集合Gの性質と群の定義
第2章　(1)の解答例と準同型定理
第3章　(2)の解答例と群の作用
まとめ

第1章　集合Gの性質と群の定義

この章では, 問題を解くための準備として, 集合 $G$ の性質を観察します.

また, 群の定義を述べ, 身近な群の具体例を紹介します.

まず, $z \in G$ を好き勝手に取り, 数列 $\{ z^{m} \}$ を観察してみましょう.

ただし, 番号 $m$ は負の値も許した整数とします.

☆観察 (ア)

$G$ は有限集合なので, $\{ z^{m} \}$ は有限個の値しか取りません.

よって, ある番号 $m$ , $k$ で $z^{m} = z^{k}$ となります.

この両辺を $z^{k}$ で割れば $z^{m-k} = 1$ となります.

したがって, $1 \in G$ が成り立ちます.

☆観察 (イ)

また, この $m$ , $k$ について, $z \cdot z^{(m-k)-1} = 1$ が成り立ちます.

この両辺を $z$ で割れば, $1 / z = z^{m-k-1}$ が得られます.

よって, $1/z \in G$ が成り立ちます.

上記の観察の結果を整理しておきます.

観察 (ア), (イ) の結果

$1 \in G$ が成り立つ.
どの $z \in G$ に対しても, $1/z \in G$ が成り立つ.

さて, 一般に, $G$ と似たような性質を持つ空間で「群」と呼ばれる概念があります.

群の定義を述べます.

群の定義

$\Gamma$ を集合とし, $B(x,y)$ を2変数関数とします. ( $x,y \in \Gamma$ )

このとき, 次の 1 ～ 4 が成り立てば, 「組 ( $\Gamma$ , $B$ ) は群である」といいます.

どの要素 $x, y \in \Gamma$ に対しても, $B(x,y) \in \Gamma$ が成り立つ.
どの要素 $x, y, z \in \Gamma$ に対しても, $B(x,B(y,z)) = B(B(x,y),z)$ が成り立つ.
ある要素 $\varepsilon \in \Gamma$ が存在して, どんな $x \in \Gamma$ に対しても, $B(x, \varepsilon) = B(\varepsilon, x) = x$ が成り立つ. (この $\varepsilon$ を 単位元 と呼びます.)
どの要素 $x \in \Gamma$ に対しても, ある要素 $y \in \Gamma$ が存在して, $B(x,y) = B(y,x) = \varepsilon$ が成り立つ.

$\Gamma = G$ , $B(x,y) = xy$ と置けば, 1 番と 2 番が成立することがすぐに分かります.

また, $\varepsilon = 1$ と置けば, 上記の観察 (ア), (イ) より, 3 番と 4 番も成り立つことが分かります.

よって, 組 ( $G$ , $B$ ) は群をなします！

他にも群の典型的な例を 2 つ紹介しておきます.

群の例 1

$\Gamma =$ (複素数全体の集合)
$B(x,y) = x + y$
$\varepsilon = 0$

と置くと, 組 ( $\Gamma$ , $B$ ) は群をなします.

この群を, 複素数の加法群と呼びます.

以下, 複素数の加法群を ( $\mathbb{C}^{+}$ , $B^{+}$ ) で表すことにします.

群の例 2

$\Gamma =$ ( $0$ 以外の複素数全体の集合)
$B(x,y) = xy$
$\varepsilon = 1$

と置くと, 組 ( $\Gamma$ , $B$ ) は群をなします.

この群を, 複素数の乗法群と呼びます.

以下, 複素数の乗法群を ( $\mathbb{C}^{\times}$ , $B^{\times}$ ) で表すことにします.

( $\mathbb{C}^{+}$ , $B^{+}$ ) と ( $\mathbb{C}^{\times}$ , $B^{\times}$ ) との関係を見てみましょう.

1 変数関数 $f(z) = e^{z}$ ( $z \in \mathbb{C}^{+}$ ) を用いると, 次の等式が成り立ちます.

\begin{align} \mathbb{C}^{\times} = \big\{ f(z) \ \big| \ z \in \mathbb{C}^{+} \big\}. \end{align}しかも, $f(z+w) = e^{z} \cdot e^{w}$ が成り立ちます.

つまり, $f \big( B^{+}(z,w) \big) = B^{\times} (z,w)$ が成り立ちます.

よって, 関数 $f$ を用いることで, ( $\mathbb{C}^{+}$ , $B^{+}$ ) の世界の計算は ( $\mathbb{C}^{\times}$ , $B^{\times}$ ) の世界の計算に置き換え可能となります！

関数 $f(z) = e^{z}$ の代わりに別の関数 $f_{c} (z) = e^{cz}$ ( $c \neq 0$ ) を用いても, まったく同じことが言えます.

なぜなら, オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ より

\begin{align} f_{c} (x+iy) = e^{cx} (\cos cy + i \sin cy) \end{align}だからです.

以下, 関数 $f_{c} (z) = e^{cz}$ を用いて, ( $\mathbb{C}^{+}$ , $B^{+}$ ) と ( $\mathbb{C}^{\times}$ , $B^{\times}$ ) との対応を考察します.

$\mathbb{C}^{+}$ において, $z \in \mathbb{C}^{+}$ の実部と虚部を

\begin{align} \mathrm{Re} (z) = 0, \quad \mathrm{Im}(z) = 整数 \end{align}に制限した集合を $\mathbb{Z}^{+}$ と置きます.

つまり,

\begin{align} \mathbb{Z}^{+} &= \{ z \in \mathbb{C}^{+} \ | \ \mathrm{Re} (z) = 0, \ \mathrm{Im} (z) = 整数 \} \\ &= \{ 0 + iy \in \mathbb{C}^{+} \ | \ y = 整数 \} \end{align}です.

関数 $f_{c}$ によって $\mathbb{Z}^{+}$ に対応する集合を, $S$ と置きます.

つまり,

\begin{align} S &= \{ f_{c} (z) \in \mathbb{C}^{\times} \ | \ z \in \mathbb{Z}^{+} \} \\ &= \{ \cos cy + i \sin cy \in \mathbb{C}^{\times} \ | \ y = 整数 \} \end{align}です.

ここまでの状況を, 図で整理しておきます:

第2章　(1)の解答例と準同型定理

この章では, 問題 (1) の解答例を述べます.

問題 (1) の解答方針

まず, $\mathbb{Z}^{+}$ ( $\subset \mathbb{C}^{+}$ ) の世界の方で「要素 $n$ 個の群」を作る.

その後, 関数 $f_{c}$ を使って $\mathbb{C}^{\times}$ の世界へ対応させることによって, $G$ を得る！

$\mathbb{Z}^{+}$ の世界に存在する「要素 $n$ 個の群」は, じつは中学・高校で既に習っています.

その正体は, 合同式 です！

集合 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ を下記の式で定めます.

\begin{align} \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} = \{ y \ \bmod \ n \ | \ y \in \mathbb{Z}^{+} \}. \end{align}

新しい関数 $\alpha (y)$ を $\alpha (y) = y \ \bmod \ n$ と置くと, $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ は次の式で表せます.

\begin{align} \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} = \{ \alpha (y) \ | \ y \in \mathbb{Z}^{+} \}. \end{align}

組 ( $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ , $B^{+}$ ) は, 要素 $n$ 個の群となっています.

よって, 関数 $f_{c}(z) = e^{cz}$ を用いて $\mathbb{C}^{\times}$ の世界のほうへ移してやれば, 題意の群 ( $G$ , $B^{\times}$ ) が得られます！

つまり, $G$ は下記の式で表せます！

\begin{align} G = \{ f_{c} (y) \ | \ y = 0, 1, \dots, n-1 \}. \end{align}

ここまでの状況を図で整理しておきます:

$G$ をもっと具体的に表すために, 以下, $c$ の値を求めます.

2 つの群 ( $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ , $B^{+}$ ), ( $G$ , $B^{\times}$ ) において, それぞれの単位元に注目してみましょう.

(復習: 単位元とは, どの $x \in \Gamma$ に対しても $B(x,\varepsilon) = x$ となるような $\varepsilon \in \Gamma$ のことです. cf. 第1章の群の定義の3番.)

群 ( $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ , $B^{+}$ ) において, $y \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ が単位元となるための必要十分条件を求めると, 下記のとおりになります.

\begin{align} \alpha (y) \equiv 0 \ \bmod n \ &\Longleftrightarrow \ y \equiv 0 \ \bmod n \\ &\Longleftrightarrow \ y \, は \, n \, の倍数 \end{align}

一方, 群 ( $G$ , $B^{\times}$ ) において, $f_{c}(y) \in G$ が単位元となるための必要十分条件を求めると, 下記のとおりになります.

\begin{align} f_{c} (y) = 1 \ &\Longleftrightarrow \ e^{icy} = 1 \\ &\Longleftrightarrow \ cy \, は \, 2\pi \, の倍数 \\ &\Longleftrightarrow \ y \, は \, 2\pi / c \, の倍数 \end{align}

今, 2 つの群 ( $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ , $B^{+}$ ), ( $G$ , $B^{\times}$ ) は関数 $f_{c}(y)$ を介して対応しているので, 両者の単位元について下記が成り立ちます.

\begin{align} y \equiv 0 \ \bmod n \ \Longleftrightarrow \ f_{c} (y) = 1 \end{align}

以上から, 下記が成り立ちます.

\begin{align} y \, が \, n \, の倍数 \ \Longleftrightarrow \ y \, が \, 2\pi / c \, の倍数 \end{align}

よって, $2\pi / c = n$ , つまり, $c = 2\pi / n$ が成り立ちます.

したがって, $G$ は下記の式で表せます！

\begin{align} G &= \left\{ f_{2 \pi / n } (y) \ \middle| \ y = 0, 1, \dots, n-1 \right\} \\ &= \left\{ e^{2\pi i y / n } \ \middle| \ y = 0, 1, \dots, n-1 \right\} \end{align}

((1) の解答例おわり)

上記の (1) の解答例の最後の部分で鍵となったのは, 関数の出力値が単位元となるような状況の観察でした.

一般の群論においても, そのような観察はよく行われます.

そこで, 与えられた群 ( $\Gamma$ , $B$ ) と関数 $f$ に対して下記の式で定める集合 $\ker f$ を導入しておくと便利です.

\begin{align} \ker f = \left\{ x \in \Gamma \ | \ f(x) = \varepsilon' \right\}. \end{align}(※) $\varepsilon'$ は $\{ f(x) \ | \ x \in \Gamma \}$ における単位元とします.

この集合 $\ker f$ を用いると, (1) の解答例の内容はスッキリと一般化できます.

その一般化した結果が, 下記のいわゆる 準同型定理 です.

準同型定理

群 ( $\Gamma$ , $B$ ) と関数 $f (x)$ ( $x \in \Gamma$ ) が与えられたとする.
どの $x,y \in \Gamma$ に対しても, $f \big( B(x,y) \big) = B \big( f (x), f (y) \big)$ が成り立つとする.
集合 $G$ を $G = \{ f (x) \ | \ x \in \Gamma \}$ とおく.
$G$ は群をなすとする.

すると, (記号の濫用を許せば) $G$ は下記のように表せる.

\begin{align} G = \{ x \ \bmod \ker f \ | \ x \in \Gamma \}. \end{align}

(脱線になるので, 証明は省略します.)

第3章　(2)の解答例と群の作用

この章では, (2) の解答例を述べます.

「群の作用」と呼ばれる概念を使うとスッキリ解けるので, まず, 「群の作用」を導入します.

群の作用の定義

( $\Gamma$ , $B$ ) を群とし, $X$ を集合とします.

また, $A(g,x)$ を2変数関数とします. ( $g \in \Gamma$ , $x \in X$ )

このとき, 下記の 1 ～ 3 が成り立てば, 「 $A$ は群 ( $\Gamma$ , $B$ ) の集合 $X$ への作用である」といいます.

どの $g \in \Gamma$ と $x \in X$ に対しても, $A(g,x) \in X$ が成り立つ.
どの $g, h \in \Gamma$ と $x$ に対しても, $A \big( g, A(h,x) \big) = A \big( B(g,h), x \big)$ が成り立つ.
どの $x \in X$ に対しても, $A( \varepsilon, x) = x$ が成り立つ.

(※) 3 番の $\varepsilon$ は群 ( $\Gamma$ , $B$ ) の単位元とします.

群の作用に関連して「軌道」という概念も便利なので導入しておきます.

軌道の定義

( $\Gamma$ , $B$ ) を群とし, $X$ を集合とします.

また, $A(g,x)$ を群 ( $\Gamma$ , $B$ ) から集合 $X$ への作用とします.

各 $x \in X$ に対して, 集合 $\Gamma x$ を下記の式で定めます.

\begin{align} \Gamma x = \{ A(g,x) \in X \ | \ g \in \Gamma \}. \end{align}この集合 $\Gamma x$ を, この作用における $x$ の軌道といいます.

群の作用や軌道の概念を踏まえて, (2) を解いていきます！

(2) の解答方針

作用や軌道について調べると, 群や集合の性質が分かる場合が多い.

そこで, 適切な作用を設定して各軌道を観察してみる！

$G$ の $n$ 個の要素を $g_{1}$ , $g_{2}$ , …, $g_{n}$ と置きます.

群 ( $\Gamma$ , $B$ ) を $\Gamma = G$ , $B(x,y) = xy$ と置きます.

また, 集合 $X$ も $X = G$ と置きます.

2変数関数 $A(g,x)$ を $A(g,x) = gx$ と置くと, これは $\Gamma$ の $X$ への作用となります.

要素 $z \in X$ を好き勝手にひとつ取り, 固定します.

軌道 $\Gamma z$ の要素の個数は $n$ 個となるので, $\Gamma z = X$ が成り立ちます.

よって, $\Gamma z$ や $X$ の要素たちの積について, 下記の等式が成り立ちます.

\begin{align} (\Gamma z のすべての要素の積) = (X のすべての要素の積). \end{align}この等式の左辺と右辺をそれぞれ計算すると, 下記のとおりになります.

\begin{align} (左辺) &= (g_{1}z) \cdot (g_{2} z) \cdots (g_{n} z) \\ &= g_{1} g_{2} \cdots g_{n} z^{n}, \\ (右辺) &= g_{1} g_{2} \cdots g_{n}. \end{align}以上から, どの $z \in X$ に対しても $z^{n} = 1$ が成り立ちます.

つまり, 下記の等式が成り立ちます.

\begin{align} G \subset \{ z \ | \ z^{n} = 1 \}. \end{align}

ここで, $z^{n} = 1$ を満たすような複素数 $z$ は $n$ 個しかありません.

よって, 集合の要素の個数に注目して, 下記の等式が成り立ちます.

\begin{align} G &= \{ z \ | \ z^{n} = 1 \} \\ &= (1 の n 乗根全体) \\ &= \left\{ e^{2 \pi i y / n} \ \middle| \ y = 0, 1, \dots, n-1 \right\}. \end{align}

つまり, $G$ は必ず (1) で述べた集合と一致することが示せました！

わーい！

((2) の解答例おわり)

まとめ

群論を駆使して, 京府医2001年の問題を解説しました.

もし群論を使わないとしたら, どうやって解いたらいいのかパッと思いつかないです.

やっぱり知識ゲー感は否めないですね…笑

最後まで読んでいただいてありがとうございました！

シン・ぱいおつ日記

ぱいおつが始まります

大学入試問題と群論入門 (京府医2001)

第1章　集合Gの性質と群の定義

第2章　(1)の解答例と準同型定理

第3章　(2)の解答例と群の作用

まとめ

第1章 集合Gの性質と群の定義

第2章 (1)の解答例と準同型定理

第3章 (2)の解答例と群の作用

まとめ

第1章　集合Gの性質と群の定義

第2章　(1)の解答例と準同型定理

第3章　(2)の解答例と群の作用