線分と長方形はいかにして区別できるかっていう話

こんにちは.

ぱいです.

今朝, 線分と長方形の区別についてこんなツイートをしました.

ただの独り言ですが、集合論が線分と長方形を区別できないのは、意図的に区別してないだけであって、全く欠陥ではありません。
線分と長方形の「形の違い」を区別したいのであれば位相空間論の枠組みで考えるべきだし、「面積の違い」を区別したいのであれば測度論の枠組みで考えるべきです。

つづく
— ぱい (@END_OF_PAIOTU) 2023年2月8日

せっかくなので, 下記 3 点の枠組みで線分と長方形がどのように区別できるかをメモしておきます.

位相空間論の枠組み
測度論の枠組み
線形代数学の枠組み
群論の枠組み

(2023/2/9 追記. 考えてた演算が線形ではなかったので, 群論の枠組みで考えなおしました. ご指摘いただいた方にこの場でお礼申し上げます.)

前提知識は, 大学学部程度の数学です.

平面 $\mathbb{R}^{2}$ の部分集合 $L$ , $S$ は下記の式で定めます.

(後々の議論を簡単にしたい都合で右端の点を予め取り除いています.)

$L := [ 0,1) {\times} \{ 0 \}$
$S := [ 0,1) {\times} [ 0, 1)$

$L$ と $S$ を平面 $\mathbb{R}^{2}$ 上に図示すると, 下図のようになります.

この図を踏まえて, 以下, $L$ と $S$ をそれぞれ線分, 長方形の代表として扱います.

(目次)

第1章　位相空間論の枠組み
第2章　測度論の枠組み
第3章　群論の枠組み

第1章　位相空間論の枠組み

この章では, 位相空間論の枠組みで線分 $L$ と長方形 $S$ が区別できることを説明します.

つまり, $L$ と $S$ が同相でないことを示します.

背理法を使います.

$L$ と $S$ が同相だったと仮定します.

すると, 連続な全単射 $f: S \to L$ が取れます.

$f(a) \neq (0,0)$ となるような点 $a \in S$ を任意に取ります.

(2023/2/9 追記. $a$ の取り方について誤植があったのを修正しました.)

$S$ からこの点 $a$ を取り除いて得られる集合を $S^{*}$ と置きます.

集合 $L^{*}$ も同様に置きます.

つまり, 集合 $S^{*}$ , $L^{*}$ は下記の式で表せます.

\begin{align} S^{*} := S \setminus \{ a \} , \ L^{*} := L \setminus \{ f(a) \}. \end{align}また, 写像 $f$ の定義域を $S^{*}$ に制限して得られる写像を $f^{*}$ と置きます.

$f$ は連続な全単射なので, 当然 $f^{*}$ も連続な全単射です.

さて, $S^{*}$ と $L^{*}$ の連結性に注目してみましょう.

$S^{*}$ と $L^{*}$ を平面 $\mathbb{R}^{2}$ 上に図示すると, それぞれ下図のようになります.

$S^{*}$ は連結空間となっていることが, 図から読み取れます.

したがって, その連続像 $f^{*} (S^{*}) = L^{*}$ も連結となるはずです.

ところが, 図から読み取れるとおり, $L^{*}$ は連結ではなく, 矛盾します.

よって, 「線分 $S$ と長方形 $L$ は同相である」という仮定は誤りであることが分かります.

つまり, 線分 $S$ と長方形 $L$ は同相ではなく, 位相空間論の枠組みにおいて区別できることが分かりました！

わーい！

第2章　測度論の枠組み

この章では, 測度論の枠組みで線分 $L$ と長方形 $S$ が区別できることを説明します.

つまり, 平面 $\mathbb{R}^{2}$ において $L$ のルベーグ測度と $S$ のルベーグ測度が異なる値を取ることを示します.

以下, 集合 $X \subset \mathbb{R}^{2}$ のルベーグ測度を $\mu (X)$ で表します.

線分 $L$ は, 下記の式のとおり, 長方形たちの降鎖の共通部分として表せます.

\begin{align} L = \bigcup_{n=0}^{\infty} \Big( [ 0,1 ) {\times} [ 0,\dfrac{1}{2^{n}} ) \Big). \end{align}よって, 線分 $L$ のルベーグ測度 $\mu (L)$ は下記のように求められます.

\begin{align} \mu (L) &= \lim_{n \to \infty} \mu \Big( [0,1) {\times} [0,\dfrac{1}{2^{n}}) \Big) \\ &= \lim_{n \to \infty} 1 \times \dfrac{1}{2^{n}} \\ &= 0. \end{align}

一方, 長方形 $S$ のルベーグ測度 $\mu (S)$ は, 明らかに下記のとおりです.