位数2023の群の分類 - シン・ぱいおつ日記

こんにちは.

ぱいです.

明けましておめでとうございます.

今年も数学の記事を書いていきますので, よろしくお願いいたします.

さて, 2023 年になったということで, 今年 1 発目の記事のテーマは「位数 2023 の群の分類」です！

つまり, 位数 2023 の群をすべて求めます！

なお, 途中で大阪大学の大学院入試の問題にも触れますので, 学部 4 年生の人たちは参考になるかもしれません.

$G$ を位数 2023 の群とします.

下記目次の 6 つのステップに沿って, $G$ の構造としてあり得るものをすべて求めます.

(冒頭に述べた阪大の院試の話が関わるのは, ステップ 5 です.)

ステップ 1 は一般的な群論の話なので, 群論に詳しい人は読み飛ばして大丈夫です.

なお, 結果を先に述べておきます.

(ネタバレ防止 (？) で透明の字にしておくので, ドラッグすると読めます. スマホだとうまく表示されないかも.)

位数 2023 の群は, $(\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}) {\times} (\mathbb{Z} / 289 \mathbb{Z})$ と $(\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}) {\times} (\mathbb{Z} / 17 \mathbb{Z}) {\times} (\mathbb{Z} / 17 \mathbb{Z})$ の 2 個ですべてです.

ステップ 1: 群論の準備
ステップ 2: シロー 7 部分群とシロー 17 部分群の個数を求める
ステップ 3: シロー 7 部分群とシロー 17 部分群を用いて G を表す
ステップ 4: シロー 7 部分群の構造をすべて求める
ステップ 5: シロー 17 部分群の構造をすべて求める
ステップ 6: G の構造をすべて求める
オマケ: 阪大の院試 (2019年度) の問題

ステップ 1: 群論の準備

このステップでは, 位数 2023 の群の構造を求めるための準備として, 有限群論の基本的な道具を整理します.

まず, 群の位数について基本的な定理を 2 個紹介します.

定理 1 (ラグランジュの定理) $G$ を有限群とし, $H$ をその部分群とする.
すると, $H$ の位数 $|H|$ は $G$ の位数 $|G|$ の約数となる.

(証明)

剰余類に注目して, いわゆる羊飼いの原理を使えばいいです. ■

定理 2 $G$ を有限群とし, $H$ と $K$ を共に $G$ の部分群とする.
すると, $H$ の位数 $|H|$ と $K$ の位数 $|K|$ について, 次の等式が成り立つ.
\begin{align} |HK| \cdot |H \cap K| = |H| \cdot |K|. \end{align}

(証明)

写像 $f : H {\times} K \to HK$ を $f \big( (h,k) \big) = hk$ で定めます.

任意の $h \in H$ , $k \in K$ に対して, $hk$ の逆像は下記のとおりに表せます.

\begin{align} f^{-1} (hk) = \left\{ (hx, x^{-1}k) \in H {\times} K \ \middle| \ x \in H \cap K \right\} . \end{align}

これを踏まえて, いわゆる羊飼いの原理を使えばいいです. ■

次に, 正規部分群による群の直積分解について紹介します. (線形空間の直和分解の類似.)

定理 3 $G$ を有限群とし, $N$ と $K$ を共に $G$ の正規部分群とする.
このとき, $G = NK$ かつ $N \cap K = \{ 1 \}$ ならば, 次の同型が成り立つ.
\begin{align} G \cong N {\times} K. \end{align}

(証明)

写像 $\varphi : N {\times} K \to G$ を $\varphi \big( (n,k) \big) = nk$ で定めます.

すると, この $\varphi$ は同型写像となります. ■

次に, 「シロー $p$ 部分群」を定義して, シローの定理を紹介します.

定義 4 $G$ を有限群とし, $H$ をその部分群とする.
$G$ の位数を $|G| = p^{e}a$ ( $p$ は素数, $e$ は整数で, $a$ は $p$ と互いに素な整数) とする.
このとき, $H$ が $G$ の「シロー $p$ 部分群」であるとは, 下記の条件 2 点が成り立つときをいう.

$H$ の位数は $|H| = p^{e}$ である.
$G$ のどんな部分群 $K$ に対しても, $H$ は $K$ の部分群とならない. (ただし $K = H$ のケースを除く.)

定理 5 (シローの定理) $G$ を有限群とし, その位数を $|G| = p^{e}a$ とする.
整数 $n(p,G)$ を次の式で定める.
\begin{align} n(p,G) = \# \{ H \subset G \ | \ H \ は\ G \ のシロー \, p \, 部分群となる\} . \end{align}すると, 下記 4 点が成り立つ.

$n(p,G)$ は $a$ の約数となる.
$n(p,G) \equiv 1 \ \bmod p$ が成り立つ.
$n(p,G) = 1$ のとき, $G$ の唯一のシロー $p$ 部分群は正規部分群となる.
$N$ を $G$ の正規部分群とし, $K$ を $G$ のシロー $p$ 部分群とするとき, $N \cap K$ は $N$ のシロー $p$ 部分群となる.

(証明)

長くなるので割愛します.

詳細は, 例えば下記の参考文献の第 3 章「Action and Conjugation」などをご参照ください.

参考文献 : H. Kurzweil and B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, Springer (2004). ■

最後に, 群の構造を求めるのに役立つ強力な定理を紹介します.

定理 6 (有限アーベル群の基本定理) $G$ を有限アーベル群とし, その位数を $|G| = n$ とする.
すると, 下記の条件 2 点をみたすような整数 $n_{1}$ , $n_{2}$ , …, $n_{k}$ が存在する.

$G \cong (\mathbb{Z} / n_{1} \mathbb{Z}) {\times} (\mathbb{Z} / n_{2} \mathbb{Z}) {\times} \cdots {\times} (\mathbb{Z} / n_{k} \mathbb{Z})$ .
$n_{1} n_{2} \cdots n_{k} = n$ .

(証明)

長くなるので割愛します.

詳細は, 例えば下記の参考文献の第 2 章「Abelian Groups」などをご参照ください.

参考文献 : H. Kurzweil and B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, Springer (2004). ■

ステップ 2: シロー 7 部分群とシロー 17 部分群の個数を求める

2023 を素因数分解すると, $2023 = 7 \times 17^{2}$ となります.

これを踏まえて, このステップでは, $G$ を位数 2023 の群とし, $G$ のシロー 7 部分群およびシロー 17 部分群の個数を求めます.

$p = 7, \ 17$ に対して, シロー $p$ 部分群の個数を $n(p,G)$ で表します.

まず, シロー 7 部分群の個数 $n(7,G)$ について.

定理 5 (シローの定理) の 1 番より, $n(7,G) = 1, \ 17, \ 17^{2}$ です.

一方, 定理 5 (シローの定理) の 2 番より, $n(7,G) \equiv 1 \ \bmod \ 7$ です.

よって, $n(7,G) = 1$ となります.

同様に, シロー 17 部分群の個数も $n(17, G) = 1$ となります.

これでステップ 2 はおしまいです.

ステップ 3: シロー 7 部分群とシロー 17 部分群を用いて G を表す

このステップの目標は, ステップ 1 の定理 3 を利用して, シロー 7 部分群およびシロー 17 部分群を用いて $G$ を表すことです.

ステップ 2 を踏まえて, $G$ の唯一のシロー 7 部分群を $N$ と置き, $G$ の唯一のシロー 17 部分群を $K$ と置きます.

定理 5 (シローの定理) の 3 番より, $N$ と $K$ はいずれも $G$ の正規部分群です.

よって, 定理 5 (シローの定理) の 4 番より, $N \cap K$ は $N$ のシロー 17 部分群となります.

今, $N$ の位数は $|N| = 7$ なので, $N$ のシロー 17 部分群は $\{ 1 \}$ だけです.

以上から, $N \cap K = \{ 1 \}$ となります.

よって, 定理 2 より, $|NK| = |N| \cdot |K| = |G|$ となります.

したがって, $G = NK$ が成り立ちます.

以上から, $N$ , $K$ は定理 3 の条件をみたします.

よって, $G$ は $G \cong N {\times} K$ と表せます.

これでステップ 3 はおしまいです.

ステップ 4: シロー 7 部分群の構造をすべて求める

このステップの目標は, $G$ の唯一のシロー 7 部分群 $N$ に対して, $N$ の構造としてあり得るものをすべて求めることです.

$x \in N$ を任意に取ります. (ただし $x \neq 1$ とします.)

$x$ の生成する巡回群を $\langle x \rangle$ と置きます.

定理 1 (ラグランジュの定理) より, $\langle x \rangle$ の位数 $| \langle x \rangle |$ は $|N| \ (=7)$ の約数です.

よって, $| \langle x \rangle | = 7$ となります.

したがって, $N = \langle x \rangle$ となります.

つまり, $N \cong \mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}$ となります.

これでステップ 4 はおしまいです.

ステップ 5: シロー 17 部分群の構造をすべて求める

このステップの目標は, $G$ の唯一のシロー 17 部分群 $K$ に対して, $K$ の構造としてあり得るものをすべて求めることです.

$K$ の正規部分群 $Z(K)$ を下記の式で定めます.

\begin{align} Z(K) = \{ z \in K \ | \ どの \, k \in K \, に対しても \, kz = zk \, となる \} . \end{align}(この $Z(K)$ を $K$ の「中心群」といいます.)

定理 1 (ラグランジュの定理) より, $Z(K)$ の位数は $|Z(K)| = 17, \ 17^{2}$ です.

よって, 剰余群 $K / Z(K)$ の位数は $| K / Z(K) | = 1, \ 17$ となります.

したがって, ステップ 4 と同様に, 剰余群 $K / Z(K)$ は巡回群となります.

以下, $K$ がアーベル群となることを示します.

$k_{1}, k_{2} \in K$ を任意に取ります.

$x \in K$ を, 巡回群 $K / Z(K)$ の生成元の代表とします.

すると, ある元 $z_{1}, z_{2} \in Z(K)$ とある整数 $m_{1}, m_{2}$ を用いて, $k_{1}$ および $k_{2}$ は次のように表せます.

\begin{align} k_{1} = z_{1} x^{m_{1}}, \quad k_{2} = x^{m_{2}} . \end{align}よって, 積 $k_{1} k_{2}$ について次の等式が成り立ちます.

\begin{align} k_{1} k_{2} = z_{1} x^{m_{1}} z_{2} x^{m_{2}} = z_{2} x^{m_{2}} z_{1} x^{m_{1}} . \end{align}以上から, $K$ はアーベル群となります.

以上から, $K$ は位数 $17^{2} \ (= 289)$ のアーベル群となります.

よって, $K$ の構造は下記のように表せます.

\begin{align} K \cong (\mathbb{Z} / 289 \mathbb{Z}), \ (\mathbb{Z} / 17 \mathbb{Z}) {\times} (\mathbb{Z} / 17 \mathbb{Z}). \end{align}

これでステップ 5 もおしまいです.

ステップ 6: G の構造をすべて求める

ここまでのステップを整理すると, 下記 3 点の状況が成り立っています.

$G \cong N {\times} K$ .
$N \cong \mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}$ .
$K \cong (\mathbb{Z} / 289 \mathbb{Z}), \ (\mathbb{Z} / 17 \mathbb{Z}) {\times} (\mathbb{Z} / 17 \mathbb{Z})$ .

よって, $G$ の構造としてあり得るものは, 下記の 2 個ですべてとなります.

\begin{align} G \cong (\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}) {\times} (\mathbb{Z} / 289 \mathbb{Z}), \ (\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}) {\times} (\mathbb{Z} / 17 \mathbb{Z}) {\times} (\mathbb{Z} / 17 \mathbb{Z}). \end{align}

これで, 位数 2023 の群の構造をすべて求めることが出来ました！

わーい！

オマケ: 阪大の院試 (2019年度) の問題

余談ですが, 阪大数学科の 2019 年度大学院入試で下記のような問題が出題されました. (自分の受験した年度なので印象に残ってる.)

この問題は, 上記のステップ 5 と同じように考えれば解けます.

受験生の方の参考になれば幸いです♪

$p$ は素数, $n$ は正の整数とする. $G$ を位数が $p^{n}$ の群とし, $Z$ を $G$ の中心, すなわち

\begin{align} Z = \{ g \in G \ | \ gh = hg, \ \forall h \in G \} \end{align}とするとき, 以下の問いに答えよ.

$Z$ は, 単位群でない $G$ の正規部分群であることを示せ.

剰余群 $G / Z$ が巡回群ならば, $G$ は可換群であることを示せ. また, このことを用いて, $n = 2$ のとき $G$ は可換群であることを示せ.

$n = 3$ のとき, $p$ を適当に選んで, 可換群でないような $G$ の具体例をひとつ挙げよ.

(出典: 2019 年度大阪大学大学院理学研究科数学専攻院試)

最後まで読んでいただき, ありがとうございました！

皆さん, 素敵な 1 年をお過ごしください！