モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話　その 3

こんにちは.

ぱいです.

モジュラー群 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ の生成系の話シリーズ第 3 弾です.

前回・前々回で, Euclid の互除法や連分数との関連性を追いながらモジュラー群 $\mathrm{SL} (2, \mathbb{Z})$ の生成系を見ました.

↓ 前回の記事はこちら

end-of-paiotu.hatenablog.com

今回は, $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ と複素平面との関連性を通して, $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ の生成系を幾何的に求める方法を紹介します.

用語などの準備
群作用の基本領域の定義
SL(2,Z) =〈S, T〉の証明

用語などの準備

まずは, いくつかの基本的な用語や概念を定義しましょう.

複素平面上の領域 $\mathbb{H}$ を

\begin{align} \mathbb{H} := \{ z = x + iy \in \mathbb{C} \ | \ y > 0 \} \end{align}で定めます.

$\mathbb{H}$ を図示すると以下のようになるので, $\mathbb{H}$ を「上半平面」といいます.

モジュラー群 $\mathrm{SL} (2, \mathbb{Z} )$ を中心 $\{ \pm \mathbf{1}_{2} \}$ で割った商を

\begin{align} \mathrm{PSL} (2, \mathbb{Z} ) := \mathrm{SL} (2, \mathbb{Z} ) / \{ \pm \mathbf{1}_{2} \} \end{align}と書きます.

(ここで, $\mathbf{1}_{2}$ は 2 次の単位行列とします.)

各 $M \in \mathrm{SL} (2, \mathbb{Z})$ の属する同値類を

\begin{align} [ M ] := M \{ \pm \mathbf{1}_{2} \} \end{align}と書きます.

$\mathrm{PSL} (2, \mathbb{Z} )$ は, 以下のように, 上半平面 $\mathbb{H}$ への well-defined な左作用を持ちます.

\begin{align} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \langle z \rangle := \dfrac{az+b}{cz+d} \quad ( \forall \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} {\in} \ \mathrm{PSL} (2, \mathbb{Z} ), \ \forall \, z \in \mathbb{H} ) \end{align}

前回の記事と同様に, 行列 $S, T \in \mathrm{SL} (2, \mathbb{Z})$ をそれぞれ

\begin{align} S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \quad T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}とおきます.

上半平面上の点 $z \in \mathbb{H}$ を任意に取り, $[ S ]$ や $[ T ]$ を作用させると, それぞれ

\begin{align} [S] \langle z \rangle = \dfrac{-1}{z} , \quad [T] \langle z \rangle = z + 1 \end{align}となります.

この作用 $\mathrm{PSL} (2, \mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{H}$ の導く上半平面 $\mathbb{H}$ 上の同値関係を

\begin{align} z \sim z' :\Longleftrightarrow \exists \, M \in \mathrm{PSL} (2, \mathbb{Z} ) \ \ \mathrm{s.t.} \ \ z' = M \langle z \rangle \end{align}とします.

なお, もっと大きな群 $\mathrm{GL}^{+}(2, \mathbb{R})$ も上半平面 $\mathbb{H}$ へ同じように作用します.

群作用の基本領域の定義

一般に, 群 $G$ が位相空間 $X$ へ作用 $G \curvearrowright X$ を持ち, その作用の導く $X$ 上の同値関係を～とするとき, 部分空間 $F \subset X$ が「基本領域」であるとは, 以下の条件 1, 2, 3 が成り立つときをいいます.

$F$ は $X$ の開集合である.
任意の $z' \in X$ に対して, $z \in \overline{F}$ をうまく取れば $z \sim z'$ とできる. ( $\overline{F}$ は $F$ の閉包.)
任意の $z, z' \in F$ に対して, $z \neq z'$ ならば $z \not\sim z'$ となる.

つまり, 群作用 $G \curvearrowright X$ の基本領域は, 商集合 $X / {\sim}$ の完全代表系のような役割を担います.

さて, $\mathrm{PSL} (2, \mathbb{Z})$ において $[ S ]$ と $[ T ]$ の生成する部分群を $\langle [ S ], [ T ] \rangle$ とします.

モジュラー群の作用 $\mathrm{PSL} (2, \mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{H}$ を $\langle [ S ] , [ T ] \rangle$ 上に制限して, 作用 $\langle [ S ], [ T ] \rangle \curvearrowright \mathbb{H}$ を考えます.

これらの作用 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{H}$ , $\langle [ S ], [ T ] \rangle \curvearrowright \mathbb{H}$ に対して, 上半平面 $\mathbb{H}$ 上の基本領域の選び方はたくさんあります.

(一般に, 与えられた群作用 $G \curvearrowright X$ に対して, その基本領域の取り方は一意とは限りません.)

ですが, 伝統的に, $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{H}$ や $\langle [ S ], [ T ] \rangle \curvearrowright \mathbb{H}$ の基本領域としては以下の $F$ を選ぶことが多いです.

\begin{align} F = \left\{ z \in \mathbb{H} \ \middle| \ |z| > 1 , \ -\dfrac{1}{2} < \mathrm{Re} (z) < \dfrac{1}{2} \right\} \tag{1} \end{align}

この $F$ を図示すると, 以下の図のようになります.

この $F$ が実際に $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{H}$ と $\langle [ S ], [ T ] \rangle \curvearrowright \mathbb{H}$ の基本領域になっていることを認めて (証明は次回の記事に回すことにして), 一旦, 話を進めます.

任意の $[ M ] \in \langle [ S ] , [ T ] \rangle$ に対して, $[ M ]$ の作用による基本領域 $F$ の像 $[ M ] \langle F \rangle$ を

\begin{align} [M] \langle F \rangle := \left\{ [M] \langle z \rangle \in \mathbb{H} \ \middle| \ z \in F \right\} \end{align}で定めます.

いくつかの $[ M ]$ に対する像 $[ M ] \langle F \rangle$ を図示すると, 以下のようになります.

この図から, 以下の命題が分かります.

命題 1任意の $z, w \in \overline{F}$ と $[ M ] \in \mathrm{SL} (2, \mathbb{Z} )$ に対して, \begin{align} w = [M] \langle z \rangle \ \Longrightarrow [M] \ \in \left\{ [\mathbf{1}_{2}], \ [S], \ [T], \ [T]^{-1} \right\} \end{align}が成り立つ.

この命題 1 は後で使います.

SL(2,Z) =〈S, T〉の証明

準備が整ったので, $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) = \langle S, T \rangle$ を証明します.

$\mathrm{SL} (2, \mathbb{Z}) \supset \langle S, T \rangle$ の方は明らかです.

以下, 式 (1) で選んだ基本領域 $F$ を考えることで, $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) \subset \langle S, T \rangle$ を証明します.

$M \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})$ を任意に取ります.

$z \in F$ を任意に取り, $z' = [ M ] \langle z \rangle \in \mathbb{H}$ とおきます.

(2023/07/22 追記. 赤字部分の誤植を修正しました.)

$F$ は群作用 $\langle [ S ], [ T ] \rangle \curvearrowright \mathbb{H}$ の基本領域なので, ある $w \in F$ とある $[ N ] \in \langle [ S ], [ T ] \rangle$ で $z' = [ N ] \langle w \rangle$ と表せます.

つまり,

\begin{align} w = [N]^{-1} [M] \langle z \rangle \tag{2} \end{align}が成り立ちます.

式 (2) と命題 1 より, ある $[ L ] \in \{ [ \mathbf{1}_{2} ], \ [ S ] , \ [ T ] , \ [ T ]^{-1} \} \subset \langle [ S ] , [ T ] \rangle$ で $[ N ]^{-1} [ M ] = [ L ]$ となります.