こんにちは.
ぱいです.
今日は, 群論について下記の問題を解説します.
(2023/2/12 追記. 不備があったため, 条件 (4) の表現を差し替えました.)
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こんにちは.
ぱいです.
今朝, 線分と長方形の区別についてこんなツイートをしました.
ただの独り言ですが、集合論が線分と長方形を区別できないのは、意図的に区別してないだけであって、全く欠陥ではありません。
— ぱい (@END_OF_PAIOTU) 2023年2月8日
線分と長方形の「形の違い」を区別したいのであれば位相空間論の枠組みで考えるべきだし、「面積の違い」を区別したいのであれば測度論の枠組みで考えるべきです。
つづく
せっかくなので, 下記 3 点の枠組みで線分と長方形がどのように区別できるかをメモしておきます.
(2023/2/9 追記. 考えてた演算が線形ではなかったので, 群論の枠組みで考えなおしました. ご指摘いただいた方にこの場でお礼申し上げます.)
前提知識は, 大学学部程度の数学です.
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こんにちは.
ぱいです.
大学入試の季節ですね.
今日は, 下記の入試問題を解説します.
でない複素数からなる集合
は次を満たしているとする。
\begin{align} G\, の任意の要素 \, z、w \, の積 \, zw \, は再び \, G \, の要素である\end{align}
を正の整数とする。
このとき、
(1) ちょうど 個の要素からなる
の例をあげよ。
(2) ちょうど 個の複素数からなる
は (1) の例以外にないことを示せ。
(出典: 京都府立医科大学 2001 年度入試問題)
さっそく解答例の概略を述べます.
＜解答例の概略＞
(1) .
(2) を好きに取ると,
は次のようにも表せる.
\begin{align} G = \{ gz \ | \ g \in G \}. \end{align}
よって, 両辺の要素たちの積について, 下記の等式が成り立つ.
\begin{align} (G \, のすべての要素の積) = (\{ gz \ | \ g \in G \} \, のすべての要素の積). \end{align}これを整理すると, が得られる.
したがって, は必ず下記の式で表せることが分かる.
\begin{align} G &= \{ z \ | \ z^{n} = 1 \} \\ &= \left\{ e^{2 \pi i y / n} \ \middle| \ y = 0, 1, \dots, n-1 \right\}. \end{align}
＜解答例の概略おしまい＞
こんなん知識ゲーやん！！！
思いつくか思いつかへんかだけで点差出てまうやんけ！！
悪問やないか！！！！！
と思ったそこのあなたに, 朗報です.
この記事を読めば, (1) の集合の自然な求め方や (2) の証明の自然さが分かるようになります！
しかも！
その過程で群論に入門できて, 準同型定理や群の作用の基本が身に付きます！！
※この記事の内容は, 他の入試問題へあまり応用できないと思います.
そのため, 受験生の方が読まれる場合には, ただの息抜き程度に軽い気持ちで楽しんでいただければ幸いです.
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こんにちは.
ぱいです.
下記 3 点の条件を同時にみたす病的な実関数 を思いついたので, 解説します.
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こんにちは.
ぱいです.
さて, 前回の記事で, 下記問題 (東大の 2022 年度入試) に登場する数列 の一般項について解説しました.
第 2 問
数列
を次のように定める。
\begin{align} a_{1} = 1, \quad a_{n+1} = a_{n}^{2} + 1 \quad ( n = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots \cdots ) \end{align}
(1) 正の整数
が 3 の倍数のとき,
は 5 の倍数となることを示せ。
(2)
,
の倍数となるための必要十分条件を
(3)
と
の最大公約数を求めよ。
出典: 東京大学 2022 年度第 2 次学力試験 前期日程試験 数学 (理科)
【前回の記事】
今日は, 前回の予告通り, この数列 が数学のどんな場面で登場するのかを紹介します！
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