シン・ぱいおつ日記

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東大入試 2022 数学第 2 問の数列について (第 1 弾)

数学 入試

こんにちは. 

ぱいです. 

 

さて, 東大の 2022 年度入試で下記の問題が出題されました. 

 

第 2 問

 

数列 \{ a_{n} \} を次のように定める。

 

\begin{align} a_{1} = 1, \quad a_{n+1} = a_{n}^{2} + 1 \quad ( n = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots \cdots ) \end{align}

 

(1) 正の整数 n が 3 の倍数のとき, a_{n} は 5 の倍数となることを示せ。

(2) k, n を正の整数とする。 a_{n} が a_{k} の倍数となるための必要十分条件を k, n を用いて表せ。

(3) a_{2022} と (a_{8091})^{2} の最大公約数を求めよ。

 

出典: 東京大学 2022 年度第 2 次学力試験 前期日程試験 数学 (理科)

 

上記の入試問題は, 数列 \{ a_{n} \} の一般項を求めなくても解くことができます. 

というか, 一般項を求めてもほとんど役に立ちません. 

(この記事では上記問題の解答は解説しませんので, 解答が気になる方は各予備校のホームページ等をご参照ください.)

 

でも, 一般項がどんな形なのか？そもそも一般項を求めることはできるのか？

気になりますよね！

 

じつは, 上記問題の数列の一般項は具体的に求めることが出来ます！

しかも, もっと一般に下記の漸化式 (1) で定まる数列 \{ a_{n} \} について, 初項 a_{0} が整数ならば一般項を求めることが出来ます！

 

\begin{align} \tag{1} a_{n+1} = a_{n}^{2} + c \quad (c : 正整数) \end{align}

 

今日は, この数列の話の第 1 弾として, 一般項の求め方を解説します！

(次回の第 2 弾では, この数列が数学のどんな場面で登場するかを解説する予定です.)

 

なお, この記事は, 昔ツイートした PDF の内容を移植したものです. 

 

 

 

上記漸化式 (1) の定数項が c =0, -2 のケースにおける一般項は簡単なので, 最初に個別に求めておきます. 

そのあと, c = 1 のケースや c が一般のケースでの一般項も求めます. 

 

目次

 

c = 0 のケースの一般項

漸化式 (1) で c = 0 のときは, 下記の定理 A が成り立ちます. 

 定理 A 数列 \{ a_{n} \} を下記の漸化式で定める. 
\begin{align} \tag{2} a_{n+1} = a_{n}^{2} \end{align}
すると, 数列 \{ a_{n} \} の一般項は下記の式で表せる. 
\begin{align} \tag{3} a_{n} = a_{0}^{(2^{n})} \end{align}

 

(証明)

漸化式 a_{n+1} = a_{n}^{2} の両辺の自然対数 \log を取ると, 下記の式が得られます. 

\begin{align} \log a_{n+1} = 2 \log a_{n} \end{align}

 

ここで, 新しい数列 \{ b_{n} \} を b_{n} = \log a_{n} と置きます. 

すると, \{ b_{n} \} は下記の漸化式を持ちます. 

\begin{align} b_{n+1} = 2 b_{n} \end{align}

これは等比数列なので, \{ b_{n} \} の一般項は, 初項 b_{0} を用いて下記の式で表せます. 

\begin{align} b_{n} = 2^{n} b_{0} \end{align}

 

この b_{n} を \log a_{n} に直して整理すれば, \{ a_{n} \} の一般項が下記のとおり求まります！

\begin{align} a_{n} = a_{0}^{(2^{n})} \end{align}

(証明終わり)

 

c = -2 のケースの一般項

漸化式 (1) で c = -2 のときは, 下記の定理 B が成り立ちます. 

 定理 B 数列 \{ a_{n} \} を下記の漸化式で定める. 
\begin{align} \tag{4} a_{n+1} = a_{n}^{2} - 2 \end{align}
すると, 数列 \{ a_{n} \} の一般項は下記の式で表せる. 
\begin{align} \tag{5} a_{n} = \left( \dfrac { a_{0} + \sqrt{ a_{0}^{2} - 4 } } { 2 } \right)^{(2^{n})} \! + \left( \dfrac { a_{0} - \sqrt{ a_{0}^{2} - 4 } } { 2 } \right)^{(2^{n})}  \end{align}

 

(証明)

x を n によらない定数とします. 

数列 \{ x_{n} \} を下記の漸化式で定めます. 

\begin{align} x_{n} = x^{(2^{n})} + \dfrac { 1 } { x^{(2^{n})} } \end{align}

すると, この数列 \{ x_{n} \} は定理 B の漸化式 (4) をみたします. 

そのため, 初項が x_{0} = a_{0} となるように定数 x をうまく取れば, 任意の番号 n に対して a_{n} = x_{n} と表せます. 

 

以上を踏まえて、初項が x_{0} = a_{0} となるように定数 x を求めます。

そのために、 x に関する下記の方程式を考えます。

\begin{align} x_{0} = x + \dfrac{1}{x} = a_{0} \end{align}

この方程式を解くと, 下記の式 (6) のとおり, x の候補が 2 つ出てきます. 

\begin{align} \tag{6} x = \dfrac { a_{0} \pm \sqrt{ a_{0}^{2} - 4 } } { 2 } \end{align}

ここで, 集合 \{ x, \ 1 / x \} を考えます. 

式 (6) のいずれの x に対してもこの集合は同じで, 下記の式で表せます. 

\begin{align} \left\{ x, \ \dfrac{1}{x} \right\} = \left\{ \dfrac { a_{0} + \sqrt{ a_{0}^{2} - 4 } } { 2 } , \ \dfrac { a_{0} + \sqrt{ a_{0}^{2} - 4 } } { 2 } \right\} \end{align}

 

よって, x を式 (6) の値に取れば, 数列 \{ a_{n} \} の一般項が下記のとおり求まります！

\begin{align} \tag{5} a_{n} = \left( \dfrac { a_{0} + \sqrt{ a_{0}^{2} - 4 } } { 2 } \right)^{(2^{n})} \! + \left( \dfrac { a_{0} - \sqrt{ a_{0}^{2} - 4 } } { 2 } \right)^{(2^{n})}  \end{align}

(証明終わり)

 

c が一般のケースの一般項

漸化式 (1) で c が一般の正の定数のときは, 下記の定理 C が成り立ちます. 

定理 C (Aho, Sloane, 1973) c を正の定数とし, 数列 \{ a_{n} \} を下記の漸化式 (7) で定める. 
\begin{align} \tag{7} a_{n+1} = a_{n}^{2} + c \end{align}
定数 k を下記の式 (8) で定める. 
\begin{align} \tag{8} k = a_{0} = \exp \left( \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{2^{n+1}} \, \log \left( 1 + \dfrac{c}{a_{n}^{2}} \right) \right) \end{align}
また, 下記の条件 3 点をみたすような正整数 n_{0} を任意に取り固定する. 
  • (条件 1) x_{N} > 1
  • (条件 2) \dfrac{1}{4} \, x_{N} > c
  • (条件 3) x_{N} < x_{N+1}
すると, | \varepsilon_{n} | < 1 / 2 をみたすようなある数列 \{ \varepsilon_{n} \} が存在して, 数列 \{ a_{n} \} の一般項は下記の式 (9) で表せる. 
\begin{align} \tag{9} a_{n} = k^{(2^{n})} + \varepsilon_{n} \quad (n > N) \end{align}

特に, 定数項 c および初項 a_{0} が共に整数れあれば, 数列 \{ a_{n} \} の一般項は下記の式 (10) で表せる. 
\begin{align} \tag{10} a_{n} = \left[ k^{(2^{n})} \right] \quad (n > N) \end{align}
ただし, [ * ] は床関数 (Gauss 記号) とする. 

 

証明に入る前に, 具体例を計算してみます. 

定数項を c = 1, 初項を a_{0} = 1 とします (東大入試 2022 と同じ設定). 

つまり, 下記の漸化式で定まる数列を考えます. 

\begin{align} a_{0} = 1, \quad a_{n+1} = a_{n}^{2} + 1 \end{align}

 

このとき, 定数 k は下記の値になります. 

\begin{align} k &= \exp \left( \dfrac{1}{2} \log 2 + \dfrac{1}{4} \log \dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{8} \log \dfrac{26}{25} + \dfrac{1}{16} \log \dfrac{677}{676} + \cdots \right) \\ &=1.502837 \cdots \end{align}

 

数列 \{ a_{n} \} と \{ k^{(2^{n})} \} はそれぞれ下記画像の表のとおりになります. 

2 つの数列の比較

ちゃんと a_{n} = \left[ k^{(2^{n})} \right] が成り立ってくれていることが一目瞭然になりますね♪

 

具体例も見終えたので, 定理 C の証明に入りましょう. 

なお, この記事で紹介する証明は下記の論文に沿った証明方法です. 

 

A. V. Aho, and N. J. A. Sloane, Some Doubly Exponential Sequences, Fibonacci Quarterly, vol 11, pp.429-437 (1973). 

 

(定理 C の証明)

数列 \{ y_{n} \}, \{ A_{n} \} をそれぞれ下記の式で定めます. 

\begin{align} & y_{n} := \log a_{n} \\ & A_{n} := \log \left( 1 + \dfrac{c}{a_{n}^{2}} \right) \end{align}

 

定理 C の漸化式 (7) で両辺の自然対数 \log を取れば, 下記の関係式が得られます. 

\begin{align} y_{n+1} = 2y_{n} + A_{n} \end{align}

これを y_{n} について解くと, 下記の等式 (11) が得られます. 

(数学的帰納法で示せます.)

\begin{align} \tag{11} y_{n} = 2^{n} \left( y_{0} + \dfrac{A_{0}}{2^{1}} + \dfrac{A_{1}}{2^{2}} + \cdots + \dfrac{A_{n-1}}{2^{n}} \right) \end{align}

 

ここで, 新たに数列 \{ Y_{n} \}, \{ r_{n} \} を下記の式で定めます. 

\begin{align} & Y_{n} := 2^{n} y_{0} + \sum_{i = 0}^{\infty} \dfrac { 2^{n-1} } { 2^{i} } A_{i} , \\ & r_{n} := \sum_{i = n}^{\infty} \dfrac{ 2^{n-1} } { 2^{i} } A_{i} \end{align}

数列 \{ y_{n} \} は, この 2 つの新しい数列を用いて y_{n} = Y_{n} - r_{n} と表せます. 

この数列 \{ r_{n} \} について, 下記の不等式 (12) が成り立つことに注意しておきます. 

\begin{align} \tag{12} |r_{n}| = \left| \sum_{i = n}^{\infty} \dfrac { 2^{n-1} } { 2^{i} } A_{i} \right| \leq \sum_{i=n}^{\infty} \dfrac { 2^{n-1} } {2^{i}} |A_{n}| \leq |A_{n}| \end{align}

 

さて, また別の新しい数列 \{ X_{n} \} を下記の式で定めます. 

\begin{align} X_{n} := \exp (Y_{n}) \end{align}

式 (11) や数列 \{ y_{n} \}, \{ A_{n} \}, \{ Y_{n} \}, \{ r_{n} \} の定義を踏まえて, この新しい数列 \{ X_{n} \} の一般項は下記の式 (13) のとおり表すことが出来ます. 

\begin{align} \tag{13} X_{n} &= \exp \left( 2^{n} \log a_{0} + \sum_{i = 0}^{\infty} \dfrac { 2^{n-1} } { 2^{i} } A_{i} \right) \\ &= \left( a_{0} \exp \left( \sum_{i = 0}^{\infty} \dfrac {1} {2^{i+1}} A_{i} \right) \right)^{(2^{n})} \\ &= k^{(2^{n})} \end{align}

一方, 式 (11) や数列 \{ Y_{n} \}, \{ r_{n} \} の定義から, \{ X_{n} \} の一般項は下記の式 (14) のとおり表すことも出来ます. 

\begin{align} \tag{14} X_{n} &= \exp ( y_{n} + r_{n} ) \\ &= a_{n} \exp (r_{n}) \end{align}

 

不等式 (12) と等式 (14) から, n > N のとき, 下記 2 点の不等式が成り立ちます. 

\begin{align} X_{n} &= a_{n} \exp (r_{n}) \\ & \leq a_{n} \exp ( |A_{n}|) \\ &\leq a_{n} \left( 1 + \dfrac{2c}{a_{n}^{2}} \right) \\ &= a_{n} + \dfrac{2c}{a_{n}} \end{align}

\begin{align} X_{n} &= a_{n} \exp (r_{n}) \\ & \geq a_{n} \exp ( -|A_{n}|) \\ &\geq a_{n} \left( 1 - \dfrac{2c}{a_{n}^{2}} \right) \\ &= a_{n} - \dfrac{2c}{a_{n}} \end{align}

これらを整理すると, 下記 2 点の不等式が得られます. 

\begin{align} X_{n} - a_{n} \leq \dfrac{2c}{a_{n}} < \dfrac{1}{2} \end{align}

\begin{align} X_{n} - a_{n} \geq - \dfrac{c}{a_{n}} > - \dfrac{1}{4} \end{align}

よって, n \geq N のとき下記の不等式 (15) が成り立ちます。

\begin{align} \tag{15} | a_{n} - X_{n} | < \dfrac{1}{2} \end{align}

 

X_{n} = k^{(2^{n})} と不等式 (15) から, | \varepsilon_{n} \leq 1 / 2 をみたすようなある数列 \{ \varepsilon_{n} \} が存在して, a_{n} を下記のように表すことが出来ます！

\begin{align} a_{n} = X_{n} + \varepsilon_{n} = k^{(2^{n})} + \varepsilon_{n} \end{align}

 

特に, 定数項 c と初項 a_{0} が共に整数のとき, 各項 a_{n} も整数となるため, 床関数 (Gauss 記号) を用いて, \{ a_{n} \} の一般項は下記の式で表すことが出来ます！

\begin{align} a_{n} = \left[ k^{(2^{n})} \right] \end{align}

(証明終わり)

 

\{ \varepsilon \} の存在を用いて, 抽象的な方法で \{ a_{n} \} の一般項を求めていて, 非常にテクニカルで面白い証明ですよね. 

 

最後まで読んでいただきありがとうございました！

次回 (第 2 弾) は, この漸化式 a_{n+1} = a_{n}^{2} + c が具体的にどんな場面で登場するかを紹介します.