モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話　その 1

こんにちは.

ぱいです.

先週, オンラインの整数論ゼミで群の基礎的な概念についての発表をしました.

その発表の中で, モジュラー群 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ の生成系の話をしました.

$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ は以下の 2 種類の行列で生成されます.

\begin{align} \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) = \left\langle \left( \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \right\rangle \end{align}ゼミで, この式を証明抜きで紹介しました.

せっかくなので, ここに証明を書いておきます.

以下, 行列 $S, T \in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ をそれぞれ

\begin{align} S := \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad T := \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}とおきます.

僕の知っている証明方法は, 以下の 2 種類です.

① $\langle S, T \rangle$ から $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ への左作用を通して, Euclid の互除法を使い初等代数的に証明する方法.

② $\mathrm{GL}^{+}(2,\mathbb{R})$ から上半平面 $\mathbb{H}$ への左作用を通して, 幾何的に証明する方法.

両方書くと長くなるので, 今日は ① の方だけ書きます.

② の方はまた次回書きます.

〈S, T〉の群構造や作用の観察
SL(2,Z) = 〈S, T〉の証明

〈S, T〉の群構造や作用の観察

まず, $\langle S, T \rangle$ の生成元 $S$ , $T$ の位数を見てみましょう.

$T$ は位数 $\infty$ の元で, 巾 $T^{n}$ は

\begin{align} T^{n} = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad ( \forall, n \in \mathbb{Z} ) \end{align}となります.

$S$ は位数 $4$ の元で, 巾 $S^{n}$ は以下の表のとおりになります.

そこで, $S^{+}$ , $S^{-}$ をそれぞれ

\begin{align} S^{+} = S, \quad S^{-} := S^{3} = -S \end{align}とおいておきます.

$\langle S, T \rangle$ から $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ への自然な左作用を考えましょう.

つまり, 任意の $g \in \langle S, T \rangle$ と $X \in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ に対して, $g \cdot X$ を通常の行列の積 $gX$ で定義します.

$X = \left( \begin{smallmatrix} x \ \ y \\ z \ \ w \end{smallmatrix} \right) \in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ に $T^{n}$ や $S^{\pm}$ をそれぞれ作用させると,

\begin{align} T^{n} \cdot X &= \begin{pmatrix} x+nz & y+nw \\ z & w \end{pmatrix}, \\ S^{\pm} \cdot X &= \begin{pmatrix} \pm z & \pm w \\ \mp x & \mp y \end{pmatrix} \end{align}となります.

よって, $X$ に $S^{\pm} T^{n}$ を作用させれば

\begin{align} S^{\pm} T^{n} \cdot X= \begin{pmatrix} \pm z & \pm w \\ \mp (x+nz) & \mp (y+nw) \end{pmatrix} \end{align}となります.

行列の第 1 列 $\left( \begin{smallmatrix} ● \quad {} \\ ● \quad {} \end{smallmatrix} \right)$ に注目してみましょう.

符号の違いさえ無視すれば $X \mapsto S^{\pm} T^{n} X$ は Euclid の互除法の逆向きの操作をしていることが分かります.

(cf. 互除法: $\gcd (z, x+nz) = \gcd (x, z)$ .)

したがって, 群の作用が可逆であることを踏まえれば, 作用 $\langle S, T \rangle \curvearrowright \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ を通じて Euclid の互除法を辿れることが分かります！

SL(2,Z) = 〈S, T〉の証明

では, 実際に Euclid の互除法を辿りながら $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) = \langle S, T \rangle$ を示しましょう.

$X = \left( \begin{smallmatrix} x \ \ y \\ z \ \ w \end{smallmatrix} \right) \in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ を任意に取ります.

$x = 0$ や $z = 0$ のときは簡単なので, 以下, $x \neq 0$ かつ $z \neq 0$ のときだけ考えます.

まず, 互除法により, 以下の等式たちをみたすような整数列 $\{ q_{n} \}$ , $\{ r_{n} \}$ を用意しておきます:

\begin{align} & x = zq_{1}+r_{1}, & 0 \leq r_{1} < |z|, \\ & z = r_{1}q_{2}+r_{2}, & 0 \leq r_{2} < r_{1}, \\ & r_{1} = r_{2}q_{3}+r_{3}, & 0 \leq r_{3} < r_{2}, \\ & \qquad \vdots \end{align}

$X \in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ より $\gcd (x,z) = 1$ なので, ある $n$ で $r_{n} = 1$ , $r_{n+1} = 0$ となり, 互除法は止まります.

この一連の操作を $\gcd : \mathbb{Z} {\times} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ の動きで追うと, 以下のようになります.

(あとで群作用 $\langle S, T \rangle \curvearrowright \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ と見比べやすいよう, 変数をわざと縦に並べて書いておきます.)

\begin{align} \gcd \begin{pmatrix} x \\ z \end{pmatrix} = \gcd \begin{pmatrix} z \\ r_{1} \end{pmatrix} = \gcd \begin{pmatrix} r_{1} \\ r_{2} \end{pmatrix} = \cdots = \gcd \begin{pmatrix} r_{n-1} \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \end{align}

この最大公約数の一連の動きを群作用 $\langle S, T \rangle \curvearrowright \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ で表してみましょう.

以下, 「 $Y \stackrel{ A }{\to} Z$ 」は「 $Y$ に左から $A$ を作用させて $Z$ を得ること」つまり「 $A \cdot Y = Z$ 」を意味する記号とします.

また, 行列の第 2 列は重要でないため $\left( \begin{smallmatrix} {} \ \ * \\ {} \ \ * \end{smallmatrix} \right)$ で表すことにします.

最大公約数 $\gcd$ の動きは, 群作用で以下のように表せます.

\begin{align} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \stackrel{ S^{-}T^{-q_{1}} }{\longrightarrow} \begin{pmatrix} z & * \\ -r_{1} & * \end{pmatrix} \stackrel{ S^{+}T^{q_{2}} }{\longrightarrow} \begin{pmatrix} r_{1} & * \\ -r_{2} & * \end{pmatrix} \to \cdots \to \begin{pmatrix} r_{n-1} & * \\ \pm 1 & * \end{pmatrix} \stackrel{ S^{\pm}T^{\pm r_{n-1}} }{\longrightarrow} \begin{pmatrix} \pm 1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{pmatrix}\end{align}

つまり,

\begin{align} S^{\pm 1} T^{\pm r_{n-1}} \cdots S^{+} T^{q_{2}} S^{-} T^{-q_{1}} X = \begin{pmatrix} \pm 1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{pmatrix} \end{align}となります.

ここで, 最後の $\left( \begin{smallmatrix} \pm 1 \ \ \ \ 0 \\ 0 \ \ \ \ \pm 1 \end{smallmatrix} \right)$ は $S^{2}$ または $S^{4}$ と表せます.